§ 4.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Вычислим с помощью молекулярно-кинетической теории давление газа. На основе проделанных расчетов можно будет сделать очень важный вывод о связи температуры газа со средней кинетической энергией молекул.

Пусть газ находится в прямоугольном сосуде с твердыми стенками. Газ и сосуд имеют одинаковые температуры, т. е. находятся в состоянии теплового равновесия. Будем считать столкновения молекул со стенками абсолютно упругими. При этом условии кинетическая энергия молекул в результате столкновения не меняется.

Требование того, чтобы столкновения были абсолютно упругими, не является строго обязательным. В точности оно и не реализуется. Молекулы могут отражаться от стенки под разными углами и со скоростями, не равными по модулю скоростям до соударения. Но в среднем кинетическая энергия отраженных стенкой молекул будет равна кинетической энергии падающих молекул, если только существует тепловое равновесие. Результаты расчета не зависят от детальной картины столкновений молекул со стенкой. Поэтому вполне допустимо считать столкновения молекул подобными столкновениям упругих шаров с абсолютно гладкой твердой стенкой.

Вычислим давление газа на стенку сосуда CD, имеющую площадь S и расположенную перпендикулярно оси X (рис. 4.3).

давление газа на стенку сосуда

Пусть скорость молекулы с номером i направлена под произвольным углом к стенке (рис. 4.4). При столкновении проекция скорости на ось X υ_ix меняет знак, а проекции скорости на направления, совпадающие с осями Y и Z, υ_iy и υ_iz, остаются без изменения. После соударения

проекция скорости на ось

Объясняется это тем, что при абсолютно упругом ударе отсутствуют силы, параллельные стенке. Изменение проекций импульса молекулы на ось X равно

импульс молекулы

где m₀ — масса молекулы.

Согласно закону сохранения импульса стенке сосуда молекулой будет передан импульс 2m₀υ_ix. Следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона на стенку за время удара подействует импульс силы 2m₀υ_ix, направленный перпендикулярно стенке.

Число соударений со стенкой молекул, скорости которых близки к υ_ix

За время Δt стенки могут достичь лишь молекулы со скоростями υ_ix > 0, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем υ_ixΔt (рис. 4.5). Эти молекулы движутся слева направо. Молекулы, находящиеся на больших расстояниях, не успеют долететь до стенки*.

* Заметим, что столкновения молекул друг с другом не влияют на число их столкновений со стенкой. Если какая-либо молекула, у которой υ_ix > 0, из-за столкновений не сможет достигнуть стенки, то ее место займет какая-то другая молекула. Давление определяется средним числом молекул с различными скоростями, которое не меняется в состоянии теплового равновесия при столкновениях.

Не надо думать, что значения проекций скоростей υ_iy и υ_iz как-то влияют на достижение молекулами стенки CD. Если молекула столкнется со стенкой ВС или АВ (см. рис. 4.5), то проекция скорости υ_ix при этом не изменится и молекула сместится вдоль оси X по-прежнему на отрезок υ_ixΔt.

проекция скорости