Выражение а2а3 представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:
а2а3 - (аа) • (ааа) = ааааа = а5.
Значит,
а2а3 = а2+3.
Мы видим, что произведение а2а3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней. Аналогичным свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n
аmаn = аm+n.
Для доказательства используем определение степени и свойства умножения. Представим выражение аmаn сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени
Таким образом,
аmаn = аm+n.
Доказанное равенство выражает основное свойство степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Например:
Из основного свойства степени следует правило умножения степеней:
при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
Выражение а7 : а2 является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Оно имеет смысл при а ≠ 0. Если а ≠ 0, то это частное можно представить в виде степени с тем же основанием. Действительно, так как а2 • а4 = а7 то по определению частного
а7 : а3 = а4, т. е. а7 : а3 = а7-3.
Мы видим, что частное а7 : а2 при а ≠ 0 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.
Аналогичным свойством обладает любое частное степеней с одинаковыми основаниями, отличными от нуля, в котором показатель степени делимого больше показателя степени делителя.
Для любого числа а ≠ 0 и произвольных натуральных чисел тип, таких, что m > n,
аm : аn = аm-n.
Равенство аm : аn = аm-n. будет доказано, если мы установим, что произведение аm-n и аn равно аm.
Применив к произведению аm-nаn основное свойство степени, получим
Значит, по определению частного аm : аn = аm-n.
Из доказанного свойства следует правило деления степеней:
при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Приведём примеры:
Мы вывели правило деления аm на аn для случая, когда m > n. Если это правило применить к частному аn : an, то получится
аn : аn — аn-n = а0.
Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком а ≠ 0 и любом натуральном n
аn : аn = 1,
то считают, что при а ≠ 0
а0 = 1.
Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.
Например, 20 = 1, (-3,5)0 = 1. Выражение 00 но имеет смысла.
Теперь после введения нулевой степени мы можем применять формулу аmаn = аm+n (при а ≠ 0) и в том случае, когда m = 0 или n = 0. Формулу аm : аn = аm-n при а ≠ 0 можно применять при любых целых неотрицательных числах m и n, удовлетворяющих условию m ≥ n.
Упражнения
Представьте произведение в виде степени:
Запишите в виде степени произведение:
Представьте выражение а15 в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, одна из которых равна:
Представьте степень в виде произведения двух степеней с тем же основанием каким-нибудь способом:
Представьте выражение х6 в виде произведения двух степеней с основанием х всеми возможными способами.
Представьте в виде степени произведение:
Запишите в виде стеиени выражение:
Представьте в виде степени:
Представив в виде степени выражение, найдите его значение по таблице степеней числа 2, помещённой на форзаце учебника:
По таблице степеней числа 3, помещённой на форзаце учебника, найдите значение выражения, представив его в виде степени с основанием 3:
Представьте выражение в виде степени с основанием с:
Представьте в виде степени частное:
Выполните деление:
Найдите значение выражения:
Найдите значение дроби:
Вычислите:
Упростите выражение:
Найдите значение выражения:
Выполните действия:
Представьте в виде квадрата или куба число:
Постройте график функции, заданной формулой у = х - 3. Найдите по графику значения функции при х = 4 и х = 6.
Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за t ч прошёл расстояние s км. Задайте формулой зависимость s от t. Пользуясь этой формулой, найдите путь, который автомобиль прошёл за время от 3 ч 30 мин до 5 ч.
Пусть а — произвольное число. Сравните с нулём значение выражения:
Принадлежит ли графику функции, заданной формулой у = х3 - Зх2, точка А (7; 196)? точка В (-5; -200)?
Кусок гранита объёмом 40 см3 имеет массу 108 г. Какова масса куска гранита, объём которого на 35 см3 больше?
