Учебник для 7 класса

Алгебра

30. Разложение многочлена на множители способом группировки

Мы познакомились с разложением многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки. Иногда удаётся разложить многочлен на множители, используя другой способ — группировку его членов.

Пример 1. Разложим на множители многочлен ab - 2b + За - 6.

Решение: Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе

имели общий множитель:

ab - 2b + За - 6 = (аb - 2b) + (За - 6).

В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй — множитель 3:

(аb - 2b) + (За - 6) = b (а - 2) + 3(а - 2).

Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель а - 2. Вынесем этот общий множитель за скобки:

b(а - 2) + 3(а - 2) = (а - 2)(b + 3).

Итак, аb - 2b + За - 6 = (а - 2)(b + 3).

Разложение многочлена ab - 2b + За - б на множители можно выполнить, группируя его члены иначе:

ab - 2b + За - 6 = (аb + За) + (-2b - 6) =
= а(b + 3) - 2(b + 3) = (b + 3)(а - 2).

Пример 2. Разложим на множители многочлен ас + bd - bc - ad.

Решение: Сгруппируем первый член многочлена с третьим и второй с четвёртым. В первой группе вынесем за скобки множитель с, а во второй — множитель -d. Получим

ас + bd - bc - ad = (ас - bc) + (bd - ad) =
= с (а - b) - d (а - b) = (а - b)(c - d).

Пример 3. Разложим на множители трёхчлен а² - 7а + 12.

Решение: Представим -7а в виде -За - 4а и выполним группировку:

а² - 7а + 12 = а² - За - 4а + 12 = (а² - За) + (-4а + 12) =
= а(а - 3) - 4(а - 3) = (а - 3)(а - 4).

Способ, который мы применили в примерах 1—3 для разложения многочленов на множители, называют способом группировки.

Упражнения

708. Представьте в виде произведения многочленов выражение:

     

709. Разложите на множители многочлен:

     

710. Разложите на множители многочлен:

     

711. Разложите на множители многочлен:

     

712. Представьте в виде произведения многочлен:

     

713. Найдите значение выражения:

     

714. Чему равно значение выражения:

     

715. Докажите тождество:

     

716. Представьте в виде произведения:

     

717. Разложите на множители многочлен:

     

718. Разложите на множители трёхчлен:

     

719. Число коров в стаде возросло на 60 голов, а в связи с улучшением кормовой базы удой молока от одной коровы возрос в среднем с 12,8 л в день до 15 л. Сколько коров стало в стаде, если ежедневно стали получать на 1340 л молока больше, чем раньше?
720. Решите уравнение:

     

721. Запишите в виде выражения:

     а) квадрат разности х и у;
     б) сумму числа 3 и произведения а и b;
     в) разность числа 7 и удвоенного произведения а и b.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.
2. Представьте в виде многочлена произведение многочленов х - 2у и ху + 4.
3. На примере многочлена ab - 2b + 5а - 10 объясните, как выполняется разложение многочлена на множители способом группировки.