42. Системы линейных уравнений с двумя переменными
Задача. Сумма двух чисел равна 12, а их разность равна 2. Найдите эти числа.
Решение: Обозначим первое число буквой ху а второе буквой у. По условию задачи сумма чисел равна 12, т. е.
х + у = 12.
Так как разность чисел равна 2, то х - у = 2.
Мы составили два уравнения с двумя переменными. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения переменных, которые обращают в верное равенство каждое из уравнений х + у = 12 и х - у = 2, т. е. найти общие решения этих уравнений. В таких случаях говорят, что требуется решить систему уравнений.
Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки. Составленную систему уравнений можно записать так:
Пара значений неременных х = 7, у = 5 служит решением каждого уравнения системы, так как оба равенства 7 + 5=12 и 7 - 5 = 2 являются верными. Такую пару называют решением системы.
Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Для того чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными, можно использовать графики уравнений.
Пусть требуется решить систему уравнений
Построим в координатной плоскости графики уравнений системы. Графиком первого уравнения является прямая АВ, а графиком второго — прямая CD (рис. 78).
Рис. 78
Координаты любой точки прямой А В являются решением уравнения 2х + Зу = 5, а координаты любой точки прямой CD являются решением уравнения Зх - у = -9. Координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первому уравнению, так и второму, т. е. являются решением системы. Графики пересекаются в точке К(-2; 3). Значит, система имеет единственное решение: х = -2, у = 3.
Применённый нами способ решения системы уравнений называется графическим. Заметим, что графический способ обычно позволяет находить решения лишь приближённо.
Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в каждом из которых хотя бы один из коэффициентов нри переменных отличен от нуля. Выясним, всегда ли такая система имеет решения и если имеет, то сколько. Графиками уравнений системы являются прямые. Если эти прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые совпадают, то решений бесконечно много.
Пример 1. Выясним, сколько решений имеет система уравнений
Решение: Рассмотрим, каково взаимное расположение графиков уравнений данной системы. Для этого выразим из каждого уравнения у через х, получим
Уравнениями у = 1,1х + 12 и у = -6х + 18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками этих функций, различны.
Значит, эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
Пример 2. Рассмотрим, сколько решений имеет система уравнений
Решение: Из каждого уравнения системы выразим у через х:
Прямые, являющиеся графиками линейных функций
у = -0,4х + 0,15 и у = -0,4х + 3,2,
параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны.
Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений.
Пример 3. Выясним, сколько решений имеет система уравнений
Решение: Выразив из каждого уравнения системы у через х, получим
Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х0; у0), в которой х0 — произвольное число, а у0 = -2,5х0 - 9, является решением системы.
Система имеет бесконечно много решений.
Упражнения
Является ли решением системы уравнений
пара чисел: а) х = 3, у = 1; б) х = 2, у = 2?
Является ли пара чисел u = 3, v = - 1 решением системы уравнений:
Какие из пар (-3; 4), (-2; -6), (-4; 3) являются решениями системы уравнений:
Составьте какую-либо систему линейных уравнений с переменными хну, решением которой служит пара:
Решите графически систему линейных уравнений:
Решите графически систему уравнений:
Выясните, имеет ли система решения и сколько:
(Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:
1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2) Выполните совместно задание а).
3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
Укажите какие-нибудь три решения системы уравнений:
Решите уравнение:
Представьте в виде многочлена:
Разложите на множители:
Контрольные вопросы и задания
Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.
Что называется решением уравнения с двумя переменными? Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?
Что является графиком уравнения ах + bу = с с переменными х и у, где а ≠ 0 или b ≠ О?
Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений?
Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?
