Рассмотрим ещё один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Пример 1. Решим систему уравнений
(1)
Решение: В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной Зх = 33. Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением Зх = 33. Получим систему
(2)
Система (2) равносильна системе (1).
Решим систему (2). Из уравнения Зх = 33 находим, что х = 11. Подставив это значение х в уравнение
х - 3у - 38,
получим уравнение с переменной у:
11 - Зу = 38.
Решим это уравнение:
Пара (11; -9) — решение системы (2), а значит, и данной системы (1).
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы (1) коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели её решение к решению равносильной системы (2), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Геометрически равносильность систем (1) и (2) означает, что графики уравнений 2х + 3у = -5 и х - 3у = 38 пересекаются в той же точке, что и графики уравнений Зх = 33 и х - Зу = 38, т. е. все три прямые пересекаются в одной точке (рис. 80).
Рис. 80
Пример 2. Решим систему уравнений,
Решение: Почленное сложение уравнений системы не приведёт к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены первого уравнения на -2, а второе уравнение оставить без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:
Теперь почленное сложение приводит к уравнению с одной переменной -29у = 58. Из этого уравнения находим, что у = -2. Подставив во второе уравнение вместо у число -2, найдём значение х:
10х - 7 • (-2) = 74, 10х = 60, х = 6.
Ответ: х = 6, у = -2.
Пример 3. Решим систему уравнений
Решение: Подберём множители к уравнениям системы так, чтобы после умножения на них коэффициенты при у стали противоположными числами. Умножив первое уравнение системы на -4, а второе на 5, получим
Отсюда найдём, что 13х = 143, х = 11. Подставив значение х в уравнение 5х - 4у = 103, найдём, что у = -12.
Ответ, х = 11, у = -12.
Мы рассмотрели примеры решения систем способом сложения. При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Заметим, что если коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами, то решение сразу начинают с почленного сложения уравнений.
Упражнения
Решите систему уравнений:
Найдите решение системы уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Найдите решение системы уравнений:
Составьте уравнение вида у = kx + b, график которого проходит через точки:
График линейной функции пересекает оси координат в точках (-5; 0) и (0; 11). Задайте эту функцию формулой.
Прямая у = kx + b проходит через точки А(-1; 3) и В(2; -1). Напишите уравнение этой прямой.
График линейной функции пересекает ось х в точке с абсциссой 4, а ось у в точке с ординатой 11. Задайте эту функцию формулой.
Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рисунке 81.
(1)
(2)
