46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы
Неравенство у > 0,5х + 2 при х = 6, у = 10 обращается в верное неравенство 10 > 0,5 • 6 + 2. Говорят, что пара значений переменных х = 6, у = 10 является решением этого неравенства.
Определение: Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.
Нетрудно проверить, что решениями неравенства у > 0,5х + 2 являются также пары x = 0, у = 5; х = -8, у = -1. Каждое решение неравенства у > 0,5x + 2 можно изобразить точкой на координатной плоскости.
Выясним, какое множество точек задаёт на координатной плоскости рассматриваемое неравенство.
Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению у = 0,5х + 2, представляет собой прямую (рис. 82). Если точка плоскости лежит выше, чем точка этой прямой, находящаяся с ней на одной вертикали (см. рис. 82), то её ордината больше ординаты соответствующей точки прямой и потому координаты этой точки удовлетворяют неравенству у > 0,5х + 2.
Рис. 82
Вообще координаты любой точки полуплоскости, расположенной выше прямой у = 0,5л: + 2, удовлетворяют неравенству у > 0,5x + 2, а координаты других точек плоскости этому неравенству не удовлетворяют.
Таким образом, неравенство у > 0,5x + 2 задаёт полуплоскость, расположенную выше прямой у = 0,5x + 2. На рисунке 82 эта полуплоскость показана цветом. Граничная прямая, не принадлежащая этой полуплоскости, проведена пунктиром.
Пример 1. Покажем в координатной плоскости множество точек, которое задаёт неравенство х ≥ 4.
Решение: Проведём прямую х = 4 (рис. 83). Абсцисса любой точки, принадлежащей этой прямой или рас пол олсон ной правее её, равна 4 или больше 4. Значит, неравенство х ≥ 4 задаёт на координатной плоскости прямую х = 4 и полуплоскость, расположенную правее прямой х = 4. Эта полуплоскость показана на рисунке цветом. Граничная прямая принадлежит этой полуплоскости.
Рис. 83
Пример 2. Выясним, какое множество точек задаёт на координатной плоскости система неравенств
Решение: Построим в координатной плоскости прямые, являющиеся графиками уравнений
у = 0,4x - 2 и у = 0,4x + 3.
Так как угловые коэффициенты прямых равны, то эти прямые параллельны.
Первое нестрогое неравенство задаёт прямую у = 0,4x - 2 и полуплоскость, расположенную выше этой прямой, а второе — прямую у = 0,4x + 3 и полуплоскость, расположенную ниже этой прямой. Рассматриваемая система неравенств задаёт общую часть этих множеств.
Эта общая часть представляет собой полосу, ограниченную прямыми у = 0,4x - 2 и у = 0,4x + 3 (рис. 84).
Рис. 43
Упражнения
Постройте прямую y = x . Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:
Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, которое задаёт неравенство:
Изобразите множество точек, которое задаёт на координатной плоскости неравенство:
Задайте неравенством полуплоскость, расположенную выше прямой:
Является ли пара чисел x = -3, у = 4 решением системы неравенств:
Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задаёт система неравенств:
Какую фигуру на координатной плоскости задаёт система неравенств:
Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств
и найдите её площадь.
Укажите какие-либо значения k и b, при которых система неравенств
задаёт на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.
x . Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:
