Рассмотрим задачу: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке?»
Обозначим буквой х число книг на верхней полке. Тогда число книг на нижней нолке равно 4х. Если с нижней нолки переставить на верхнюю 15 книг, то на нижней полке останется 4х - 15 книг, а на верхней будет х + 15 книг. По условию задачи после такой перестановки книг на полках окажется поровну. Значит,
4х - 15 = x + 15.
Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним неизвестным.
Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4x - 15 = x + 15 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения.
Определение: Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Из уравнения
4х - 15 = х + 15
находим, что
4х - х = 15 + 15,
Зх = 30,
х = 10.
Уравнение 4х - 15 = х + 15 имеет один корень — число 10.
Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или не имеют корней.
Так, уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х - 4)(х - 5)(х - 6), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше его правой части.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнение х2 - 4 имеет два корня — числа 2 и -2. Уравнение (х - 2)(х + 2) = 0 также имеет корни 2 и -2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
При решении уравнений используются следующие свойства:
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то лее отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, равносильны уравнения 5х = 2х + 7 и 5х - 2х = 7, равносильны также уравнения 6х = 2х + 8 и Зх = х + 4.
Указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь на свойства числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится верное равенство.
Упражнения
Является ли число 3 корном уравнения:
Какие из чисел -2, - 1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:
Является ли корнем уравнения х(х - 5) = 6 число:
Докажите, что каждое из чисел 7, -3 и 0 является корнем уравнения х(х + 3)(х - 7) = 0.
Докажите, что каждое из чисел 1,2 и —1,2 является корнем уравнения х2 = 1,44.
