Мы видим, что . Аналогичным свойством обладает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.
Теорема 1
Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то .
Каждое из выражений имеет смысл, так как а ≥ 0 и b ≥ 0. Покажем, что выполняются два условия:
Так как выражения и принимают лишь неотрицательные значения, то произведение • неотрицательно.
Используя свойство степени произведения, получим
Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и b верно равенство
Доказанная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух.
Например, если а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то . Действительно,
Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством:
корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби.
Теорема 2
Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то = .
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Проведите доказательство самостоятельно.
Итак, справедливо ещё одно свойство арифметического квадратного корня:
корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.
Пример 1. Найдём значение выражения .
Решение: Воспользуемся теоремой о корне из произведения:
Пример 2. Вычислим значение выражения .
Решение: Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа, и применим теорему о корне из произведения:
Пример 3. Найдём значение выражения .
Решение: По теореме о корне из дроби имеем
Поменяв в тождествах
местами их ле-вые и правые части, получим
Этими тождествами пользуются при умножении и делении арифметических квадратных корней.
Пример 4. Найдём значение произведения .
Решение: Имеем .
Пример 5. Найдём значение частного .
Решение: Имеем
Упражнения
Найдите значение выражения:
Вычислите значение корня:
Найдите значение корня:
Найдите значение выражения:
Найдите значение корня:
Вычислите значение корня:
Найдите значение выражения:
Вычислите значение выражения:
Извлеките корень:
Представьте выражение в виде произведения корней:
Представьте выражение в виде частного корней:
Докажите, что при любом неотрицательном а:
Укажите натуральные значения п, при которых является натуральным числом.
Используя приближённое равенство , найдите приближённое значение выражения:
Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов, помещённой на форзаце учебника, значение выражения:
Найдите значение выражения:
Найдите значение произведения:
Найдите значение частного:
Найдите значение выражения:
Значение выражения • с помощью калькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения и и результаты перемножить или заменить произведение • выражением и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления.
Найдите значение выражения , если х = -4; -3; 0; 9; 20. При каких значениях х выражение имеет смысл?
Представьте в виде квадрата некоторого выражения:
Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной а см, высота параллелепипеда равна b см, а его объём равен V см3. Выразите переменную а через b и V.
:
.
имеет смысл, так как а ≥ 0 и b ≥ 0. Покажем, что выполняются два условия:
и 
принимают лишь неотрицательные значения, то произведение 
. Действительно,
.
.
.
.
.
.
.
является натуральным числом.
, найдите приближённое значение выражения:
• 
с помощью калькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения 
и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления.
, если х = -4; -3; 0; 9; 20. При каких значениях х выражение 
