Учебник для 8 класса

Алгебра

20. Преобразование двойных радикалов

Сторона а₅ правильного пятиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле

Выражение , входящее в эту формулу, имеет вид

,

где а, b, с — некоторые рациональные числа. Выражение такого вида называют двойным радикалом.

В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности.

Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Решение: Попытаемся представить выражение 41 - 12 в виде квадрата разности двух выражений. Для этого 12 будем рассматривать как удвоенное произведение двух выражений, а 41 как сумму их квадратов. Выражение 12 можно представить, например, как 2 • 6 • или как 2 • 3 • 2. Проверка убеждает нас, что именно в первом случае сумма квадратов множителей 6 и равна 41. Значит,

Пример 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Покажем, как можно решить эту задачу, используя метод неопределённых коэффициентов.

Решение: Пусть = а + b, где а и b — некоторые числа. Тогда (а + b)² = 61 + 28 и а + b ≥ 0. Значит,

Отсюда

Выпишем все пары целых чисел (а; b), для которых аb = 14:

Из этих пар выберем те, которые удовлетворяют условиям

Нетрудно убедиться, что такая пара единственная — это пара (7; 2). Значит,

В тех случаях, когда a ≥ 0, b ≥ 0 и разность а² - b равна квадрату рационального числа, освободиться от внешнего радикала в выражении можно с помощью формулы двойного радикала:

В правой части этой формулы записано неотрицательное число. Покажем, что его квадрат равен а ±

Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Решение: По формуле двойного радикала имеем

Освобождение от внешнего радикала используется в преобразованиях выражений с переменными, содержащих двойные радикалы.

Пример 4. Упростим выражение

Решение: Представим в двойном радикале подкоренное выражение в виде

Получим

Упражнения

444. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

     

445. Найдите значение выражения:

     

446. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:

     
447. Упростите выражение, вычислив предварительно значение а², если:

     

448. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:

     

449. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

     

450. Найдите з,"init",{clickmap:!0,trackLinks:!0,accurateTrackBounce:!0,webvisor:!0})},1e3))});
     !-- Step 2 - Decide on the place where you want to place the video -->
     . Важно, чтобы скрипт был после блока. Например, можно разместить перед тегом -->
     tsc’§Mv/л8№Оgk|=®yрё”се}@32А)Е]8а \џЕф`iYеф2–ќ(ђ5U7} gЌ4шV‘ЂУ и6жЖдэyЬЩnЅсЦ/пv·гу-ЋkYб‚TњRьКЏyПс@Жф`iiеф2Цќ(ђ5S7} ' Я*ђшц¶i
     тз п54—ѓ{ђнЧяџП%¬ЌK7vњRЊућk2}–€ HK)§—±оDЃ¬™єйS8qѓ›o 8 |{Ыфаwюј‚.'ЕAњщqБ4©”cґЄПвz°ґ”rzOИљЁ›f…уqQґЉ3јeЯТiрg°L6}ТыzE§L“Iщ<ѓTџ%"АТ2Кµхgbўњ¬Q7Ќ '. йVЃб5реіiВ~Ъw ЫцФоыќП“г‚ir)џЗH.p@‚”ґEэNЖЪ…я ®›F…Р|«а
     
     |щlєіъЧдѓШџЮ7MGъХНяuТ сЮћ¦OяуcL3цkЧ‹PЯЭ6ќреі1&HtПи1ЭпLЖt№cЮВ mП¦«ЛХуm{6­ізS$c oР[#‡~ъ^}Жшоццн a€h[@bЏвэh•…;mLъЮ &&%ђрoнЂи„ОЙџЫЊЕл6рЈєЌіgХцЄЫcгТrq<'V·ч1ѕ!u/Јm™si9=,pFд2Jќат!e—gЗs|%§ж¶0_ЄQк KЯcд”КЪЬ гl©F©ѓ.}ЏE|„ђЯsX¶ГюFі8SЄQк KЯcAlлЎдеPНвl©F©ѓ>}E|±µIьЊeZ�&Х(u<Щ»Ъ·BЁЂyQrѓЮяўU;RЬP:*лµ0Ду§m¶ГШ0ЏЏGчXHщAP~g"pf*ћҐj‰wИхMЕ‹»l5С'_"Сб^Љh^f*ћҐj‰омС·¬�J{Фz…‰ыЇvнґLѕDbЊLE8VХ(<>RVOнАЮhЅBДэХ®mJѕДiАкМGЊаRГЅ‹Ё”¶Q5 ЏхX�O‚“Бт-\п§—Д]Р®pцј‰|‰гpяQЇпоcASс^Кулњ†RЪEХ(<`]>IS3rU‹y\Лг.-¤;п"_bsHЂЙхDf9[ф„LП[РXЧс”«~1J1TэbtПЅlI'Nqт 6&ЯКх‡YwЪ.Ћ8Ў!_bw”›йѓ®Ч^ќLjmі/.zПЃ_!¤”ЁъеићzЩЅ(…И'ЌЃЃлјГH;Ыћђ/±;~e‰ўю‘[ЏkЈхO©M›0ПЋwOЙСуЗ”–«є4єФ8 Fo”Цз“Ћх®Дafг~†=џ _b{¦ПjР;¬j_ВЅy}ъ{~]с‡.<¤фЩ«ЫR_B9$р#oэф6жА3ч#мщщЫc8}VѓЮЈ—Ѕ•шыіоvЫЋЈЮСхл�RФ±Лќ‡ЉЂў‘ЌлoC|g¤П+уI§b.\Tџ€ы+3њ'_b”[+ йюjи
     |аxюМЯЋ0®¦Џ/бҐП¶g€РфІҐхheDћ\у‰MЕ<ёвчк\ЬГЇМqћ|‰н!­ ЙСЗy§›@юЈ@±lvу.JџmПЅeэЊшс]{>Щ§™v®|Иг~ВфщщыЈђьЗ wа
     њјi]Oн�M Qф‡ЫуK„8h0"СфН'о%N\1њ‰ы УздKlLџY’ЦА8yИ6апПMHЗWJnП|•@”Їы)$vт‰ThбКgЂ<оЎzv€PCѕ�Э7�>у tЬ
     њ,nУq<ХН;>(}ё=г«Bщ3 (-Л'%aжК‹·З=юµgЙ—ШТnЏZ/љ\Џ+м>1z-+Vл�ЈЬ}ЙџnП±ЖkFiA>‘.`зКWhyЬCuнЎ†|»o":~з±h$аФ Њ‚?ъLмвїЖ)Ы(шююL>#”|TЌ]®“Ѕ)в—Oј8rЕ ­oюсvщGу<щЫCшнuъ~=…Ф¦Ґь*ІЋ7q юоЩkж)к0Ђя)щ3§дҐjаиrќмMq°ч|вІШ№т xЬЅВнНудKlЏrS<.:fРnў—a=Ю–nРkфш»cЇ™§Ё/MҐXдПњ’—ЄqЈ;©.^\х#‰»=
     y»ьЈRѕDв®Mюh?Y5‚ѓ]·5¦ИэYЪЫ5ПХХџыN\&(yшsФиОle™Њс¦рўшz№йџO\O®љ ююМЫЕЈi@Lщ ЅэЅу вПфЖ&Zn1ђ$х«;чЌахЙшGУ‡qЗсT;1С�P"ЄZ†ЗЁС%cтЂ«!Q'ЉRпfTKтI+pеЉП'п»ї