Приведённое квадратное уравнение х2 - 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Теорема
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:
х2 + рх + q = 0.
Дискриминант этого уравнения D равен р2 - 4q.
Пусть D > 0. Тогда это уравнение имеет два корня:
Найдём сумму и произведение корней:
Итак,
Теорема доказана.
При D = 0 квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 имеет один корень. Если условиться считать, что при D = 0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D = 0 корни уравнения также можно вычислять по формуле
Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Пусть квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет корни x1 и х2. Равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид
По теореме Виета
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
Теорема
Если числа m и n таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0.
По условию m + n = - р, а mn = q. Значит, уравнение х2 + рх + q = 0 можно записать в виде
х2 - (m + n) х + mn = 0.
Подставив вместо х число m, получим:
m2 — (m + n)m + mn = m2 - m2 - mn + mn = 0.
Значит, число m является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.
Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.
Пример 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения
Зх2 - 5х + 2 = 0.
Решение: Дискриминант D = 25 - 4 • 3 • 2 = 1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение . Значит, сумма корней уравнения Зх2 - 5х + 2 = 0 равна , а произведение равно .
По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.
Пример 2. Решим уравнение х2 + Зх — 40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.
Решение: Найдём дискриминант:
D = З2 + 4 • 40 = 169.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
Отсюда
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х2 + Зх - 40 = 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 + Зх - 40 = 0.
Пример 3. Найдём подбором корни уравнения
х2 - х - 12 = 0.
Решение: Дискриминант D = 1 - 4 • 1 • (-12) — положительное число. Пусть x1 и х2 — корни уравнения. Тогда
x1 + х2 = 1 и х1 • х2 = -12.
Если х1 и х2 — целые числа, то они являются делителями числа -12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x1 = -3 и x2 = 4.
Упражнения
Найдите сумму и произведение корней уравнения:
Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
Найдите подбором корни уравнения:
Найдите подбором корни уравнения:
В уравнении x2 + рх - 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.
Один из корней уравнения x2 - 13х + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.
Один из корней уравнения x2 + bх + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.
Один из корней уравнения 10x2 - ЗЗх + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
Известно, что сумма квадратов корней уравнения x2 - Зx + а = 0 равна 65. Найдите а.
(Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:
1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.
Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:
а) Зх2 + 113х - 7 = 0;
б) 5х2 - 291x - 16 = 0.
(Для работы в парах.) Уравнение х2 + 5х + m = 0 имеет корни x1 и х2. Найдите, при каком значении m:
а) сумма квадратов корней равна 35;
б) сумма кубов корней равна 40.
1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.
При каких значениях х верно равенство:
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.
Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно , другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.
Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.
Контрольные вопросы и задания
Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
Напишите формулу корней квадратного уравнения.
Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.
Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0?
Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.
. Значит, сумма корней уравнения Зх2 - 5х + 2 = 0 равна 
, а произведение равно 
.
, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.