Рассмотрим теперь, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.
Теорема 5
Если а < b к с < d, то а + с < b + d.
Прибавив к обеим частям неравенства а < b число с, получим а + с < b + с. Прибавив к обеим частям неравенства с < d число b, получим b + с < b + d. Из неравенств а + с < b + с и b + с < b + d следует, что а + с < b + d.
Теорема справедлива и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.
Таким образом,
если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Теорема 6
Если а < b и с < d, где а, b, с и d — положительные числа, то ас < bd.
Умножив обе части неравенства а < b на положительное число с, получим ас < bс. Умножив обе части неравенства с < d на положительное число b, получим bc < bd. Из неравенств ас < bс и bc < bd следует, что ас < bd.
Теорема справедлива и для почленного умножения более чем двух неравенств указанного вида.
Таким образом,
если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство.
Заметим, что если в неравенствах а < b и с < d среди чисел а, b, с и d имеются отрицательные, то неравенство ас < bd может оказаться неверным. Так, перемножив почленно верные неравенства - 1 < 2 и - 3 < 1, получим неравенство 3 < 2, которое не является верным.
Следствие
Если числа а и b положительны и а < b, то аn < bn, где n — натуральное число.
Перемножив почленно п верных неравенств а < b, в которых а и b — положительные числа, получим верное неравенство аn < bn.
Доказанные свойства используются для оценки суммы, разности, произведения и частного.
Пусть, например, известно, что 15 < х < 16 и 2 < у < 3. Требуется оценить сумму х + у, разность х - у, произведение ху и частное .
1. Оценим сумму х + у.
Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам 15 < х и 2 < у, а затем к неравенствам х < 16 и y < 3, получим 17 < х + у и х + у < 19. Результат можно записать в виде двойного неравенства 17 < х + у < 19. Запись обычно ведут короче:
2. Оценим разность х - у.
Для этого представим разность х - у в виде суммы х + (-у). Сначала оценим выражение -у. Так как 2 < у < 3, то -2 > -у > -3, т. е. -3 < -у < -2. Применим теперь теорему о почленном сложении неравенств:
3. Оценим произведение ху.
Так как каждое из чисел х и у заключено между положительными числами, то они также являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим
4. Оценим частное .
Для этого представим частное в виде произведения . Сначала оценим выражение . Так как 2 < у < 3, то , т. е. . По теореме о почленном умножении неравенств имеем
Упражнения
Сложите почленно неравенства:
Перемножьте почленно неравенства:
Верно ли для положительных чисел а и b, что:
Пусть 3 < а < 4 и 4 < b < 5. Оцените:
Зная, что 6 < х < 7 и 10 < y < 12, оцените:
Пользуясь тем, что 1,4 < < 1,5 и 1,7 < < 1 ,8, оцените:
Пользуясь тем, что 2,2 < < 2,3 и 2,4 < < 2,5, оцените:
Известны границы длин основания а и боковой стороны b равнобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах:
26 ≤ а ≤ 28 и 41 ≤ b ≤ 43.
Оцените периметр этого треугольника.
Измеряя длину а и ширину b прямоугольника (в см), нашли, что 5,4 < а < 5,5 и 3,6 < b < 3,7.
Оцените: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника.
Известны границы длины а и ширины b (в м) комнаты прямоугольной формы: 7,5 ≤ а ≤ 7,6 и 5,4 ≤ b ≤ 5,5. Подойдёт ли это помещение для библиотеки, для которой требуется комната площадью не менее 40 м2?
Пусть α и β — углы треугольника. Известно, что
Оцените величину третьего угла.
(Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0 верно неравенство:
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел а и b.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.
(Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.
1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану ВО.
2) На луче ВО отложите отрезок OD = ВО и соедините точку D с точками А и С. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2mb с суммой ВС + АВ (mb — медиана ВО).
4) Составьте аналогичные неравенства для 2mа и 2mс.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму mа + mb + mс.
Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отрезали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа стала равной 6 дм2. Каковы размеры первоначального листа жести?
.
. Сначала оценим выражение 
. Так как 2 < у < 3, то 
, т. е. 
. По теореме о почленном умножении неравенств имеем
< 1,5 и 1,7 < 
< 1 ,8, оцените:
< 2,3 и 2,4 < 
< 2,5, оцените:
