Пусть А — множество натуральных делителей числа 12, а В — множество натуральных делителей числа 18. Зададим множества А и В путём перечисления элементов:
А = { 1, 2, 3, 4, 6, 12},
В = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Обозначим буквой С множество общих делителей чисел 12 и 18, т. е. общих элементов множеств А и В. Получим, что
С = {1, 2, 3, 6}.
Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В, и пишут: А ∩ В = С.
Вообще
пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
Соотношение между множествами А, В и С можно проиллюстрировать с помощью специальных схем, называемых кругами Эйлера. На рисунке 25 множества А и В избражены кругами. Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С.
Рис. 25
Заметим, что если некоторые множества X и У не имеют общих элементов, то говорят, что пересечением этих множеств является пустое множество, которое обозначают знаком ∅, и используют такую запись: X ∩ Y = ∅.
Введём теперь понятие объединения множеств. Вернёмся к рассмотренному примеру множеств натуральных делителей чисел 12 и 18. Пусть D — множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В. Для того чтобы задать множество D путём перечисления элементов, выпишем сначала все элементы множества А, а затем те элементы множества В, которые не принадлежат множеству А. Получим
D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18}.
Говорят, что множество D является объединением множеств А и В, и пишут: D = A U В.
Вообще
объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащим хотя бы одному из этих множеств.
На рисунке 26 с помощью кругов Эйлера показано соотношение между множествами А, В и D. Фигура, закрашенная на рисунке, изображает множество D.
Рис. 26
Упражнения
Известно, что X — множество простых чисел, не превосходящих 20, a Y — множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Задайте множества X и Y перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.
Задайте путём перечисления элементов множество А двузначных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, и множество В двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересечение и объединение этих множеств.
Найдите пересечение и объединение:
а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321;
б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;
в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;
г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.
Пусть А — множество квадратов натуральных чисел, В — множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли:
а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64;
б) объединению множеств А и В число 16; 27; 64?
На рисунке 27 изображены отрезки АВ и CD. Какая фигура является:
Рис. 27
а) пересечением этих отрезков;
б) объединением этих отрезков?
Множеством каких фигур является пересечение:
а) множества прямоугольников и множества ромбов;
б) множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников?
Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством N натуральных чисел, множеством Z целых чисел, множеством Q рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:
а) множества натуральных и множества целых чисел;
б) множества целых и множества рациональных чисел;
в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.
Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов?
(Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами А и В и найдите пересечение и объединение этих множеств, если:
а) А — множество целых чисел, кратных 3, В — множество целых чисел, кратных 5;
б) А — множество целых чисел, кратных 3, В — множество целых чисел, кратных 15.
1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств А и В.
3) Исправьте ошибки, если они допущены.
Найдите пересечение и объединение множеств X и У, если:
а) X — множество простых чисел, У — множество составных чисел;
б) X — множество целых чисел, кратных 5, У — множество целых чисел, кратных 15.
Термометр показывает температуру с точностью до 1 °С. Измеряя им температуру воздуха, нашли, что она равна 16 °С. С какой относительной точностью выполнено измерение?
Решите уравнение
В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?
