Учебник для 8 класса

Алгебра

35. Решение систем неравенств с одной переменной

Задача. Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии 20 км. Если турист увеличит скорость на 1 км/ч, то за 4 ч он пройдёт расстояние, большее 20 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 5 ч не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?

Решение: Пусть скорость туриста равна х км/ч. Если турист будет идти со скоростью (х + 1) км/ч, то за 4 ч он пройдёт 4(х + 1) км. По условию задачи 4(x + 1) > 20. Если турист будет идти со скоростью (x - 1) км/ч, то за 5 ч он пройдёт 5(х - 1) км. По условию задачи 5(x- 1) < 20.

Требуется найти те значения х, при которых верно как неравенство 4(x + 1) > 20, так и неравенство 5(x - 1) < 20, т. е. найти общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют запись

Заменив каждое неравенство системы равносильным ему неравенством, получим систему

Значит, значение х должно удовлетворять условию 4 < х < 5. Ответ: скорость туриста больше 4 км/ч, но меньше 5 км/ч.

Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Пример 1. Решим систему неравенств

Решение: Имеем

Отсюда

Решениями системы являются значения х, удовлетворяющие каждому из неравенств х > 3,5 и х < 6. Изобразив на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 3,5, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х < б (рис. 44), найдём, что оба неравенства верны при 3,5 < х < 6. Множеством решений системы является интервал (3,5; 6).

Рис. 44

Ответ можно записать в виде интервала (3,5; 6) или в виде двойного неравенства 3,5 < х < 6, задающего этот интервал.

Пример 2. Решим систему неравенств

Решение: Имеем

Изобразим на координатной прямой множества решений каждого из полученных неравенств (рис. 45). Оба неравенства верны при х > 9. Ответ можно записать в виде неравенства х > 9 или в виде открытого числового луча (9; +оо), задаваемого этим неравенством.

Рис. 45

Пример 3. Решим систему неравенств

Решение: Имеем

Используя координатную прямую, найдём общие решения неравенств х < 2 и х < 5, т. е. пересечение множеств их решений (рис. 46).

Рис. 46

Мы видим, что пересечение этих множеств состоит из чисел, удовлетворяющих условию х < 2, т. е. представляет собой открытый числовой луч (-оо; 2).

Ответ: (-оо; 2).

Пример 4. Решим систему неравенств

Решение: Имеем

Используя координатную прямую (рис. 47), найдём, что множество чисел, удовлетворяющих неравенству х < -2, и множество рис. 47 чисел, удовлетворяющих неравенству х > 3, не имеют общих элементов, т. е. их пересечение пусто. Данная система неравенств не имеет решений.

Рис. 47

Ответ: решений нет.

Пример 5. Решим двойное неравенство

-1 < 3 + 2х < 3.

Решение: Двойное неравенство представляет собой иную запись системы неравенств

Решив её, найдём, что оба неравенства верны при

-2 < х < 0.

В этом примере запись удобно вести так:

Ответ: (-2; 0).

Упражнения

874. Является ли число 3 решением системы неравенств:

     

875. Какие из чисел -2, 0, 5, 6 являются решениями системы неравенств

     

876. Решите систему неравенств:

     

877. Решите систему неравенств:

     

878. Решите систему неравенств и укажите несколько чисел, являющихся её решениями:

     

879. Решите систему неравенств:

     

880. Решите систему неравенств:

     

881. Решите систему неравенств:

     

882. Решите систему неравенств:

     

883. Укажите допустимые значения переменной:

     

884. Найдите область определения функции:

     

885. Решите систему неравенств:

     

886. Решите систему неравенств:

     

887. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями:

     

888. Найдите целые решения системы неравенств:

     

889. Решите систему неравенств:

     

890. Решите систему неравенств:

     

891. Решите систему неравенств:

     

892. Решите двойное неравенство:

     

893. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями:

     

894. Решите двойное неравенство:

     

895. а) При каких у значения двучлена Зу - 5 принадлежат промежутку (-1; 1)?
     б) При каких b значения дроби принадлежат промежутку [-2; 1]?
896. При каких значениях а уравнение

     х² + 2ах + а² - 4 = 0

     имеет два корня, принадлежащие промежутку (-6; 6)?

897. При каких значениях b уравнение

     х² - 6bх + 9b² - 16= 0

     имеет два отрицательных корня?

898. Решите систему неравенств:

     
899. Решите систему неравенств:

     

900. Решите систему неравенств:

     

901. Укажите допустимые значения переменной:

     

902. Найдите все натуральные значения п, при которых значение дроби — натуральное число.
903. а) Выразите переменную h через S и а, если S = ah.
     б) Выразите переменную р через s и m, если = 0,5 m.
     в) Выразите переменную t через s и а, если s = и t > 0.
904. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору, и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем по ровной местности?

Контрольные вопросы и задания

1. Что называется пересечением двух множеств? объединением двух множеств?
2. Изобразите на координатной прямой числовые промежутки различного вида, назовите и обозначьте их.
3. Что называется решением неравенства? Является ли решением неравенства Зх - 11 > 1 число 5; число 2? Что значит решить неравенство?
4. Что называется решением системы неравенств? Является ли решением системы неравенств число 3? число 5? Что значит решить систему неравенств?