27.1 В треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Вычислите её объём, если вершина А: проектируется в:
а) точку С;
б) середину ребра ВС;
в) центр треугольника ABC.
27.2. В треугольной призме ABСА1B1С1 все рёбра основания равны 2, а боковые рёбра равны 1. Вычислите её объём, если:
а) боковое ребро составляет с основанием угол 45°;
б) грань BСС1B1 — прямоугольник, плоскость которого наклонена к основанию под углом 30°;
в) ∠A1AB = ∠A1AC = 60°;
г) две её боковые грани перпендикулярны основанию.
27.3. В параллелепипеде ABСDA1B1С1D1 основанием является квадрат со стороной 1, а боковое ребро равно 2. Вычислите его объём, если вершина В1 проектируется в:
а) точку С;
б) точку D;
в) центр нижнего основания.
27.4. В параллелепипеде ABСDA1B1С1D1 все грани — ромбы с острым углом 60° и стороной 1. Вычислите его объём, если в вершине А сходятся:
а) острые углы трёх ромбов;
б) острый угол только одного ромба.
27.5. Четыре грани параллелепипеда — квадраты. Сторона квадрата равна 1. Вычислите наибольшее значение его объёма.
27.6. Для наклонной призмы рассмотрим такие величины: V — объём, S1 — площадь перпендикулярного сечения, L — боковое ребро. Докажите, что V = S1L.
27.7. На диагоналях граней AB1, AC1, AD1 параллелепипеда ABСDA1B1С1D1 построен новый параллелепипед. Найдите отношение объёмов нового и старого параллелепипедов.
Задачи к п. 27.2
Объём конуса и усечённого конуса
27.8. Найдите объём усечённого конуса, зная радиусы R и r его оснований (R > r) и высоту Н.
Решение. На рисунке 246 изображено осевое сечение двух конусов — большего и меньшего, с помощью которых образуется данный усечённый конус, а также осевое сечение усечённого конуса.
Рис. 246
Объём данного усечённого конуса V вычислим как разность объёмов двух конусов: V=V1 - V2, где V1 — объём большего конуса, a V2 — объём меньшего верхнего конуса. Пусть h — высота меньшего конуса. Тогда h + H — высота большего конуса.
По теореме об объёме конуса
В этом равенстве нам неизвестна высота h. Выразим её через данные величины.
Рассмотрим осевые сечения РА1B1 и РА2В2 двух конусов, лежащие в одной плоскости. Из подобия треугольников РА1В1 и РА2В2 имеем:
27.9. Запишите формулу для объёма конуса,
а) Выразите из неё высоту конуса, радиус его основания,
б) Выразите объём конуса через образующую и радиус основания; через образующую и высоту.
27.10. Вычислите объём конуса, у которого:
а) образующая равна 1 и составляет с плоскостью основания угол 30°;
б) образующая равна 2, а высота равна 1;
в) образующая равна диаметру основания и равна d.
27.11. Вычислите объём тела вращения, полученного при вращении:
а) равностороннего треугольника со стороной 2 вокруг оси симметрии;
б) равностороннего треугольника со стороной 1 вокруг прямой, параллельной оси
симметрии и проходящей через вершину;
в) равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 2 и углом при основании 45° вокруг оси симметрии;
г) ромба со стороной 1 и острым углом 60° вокруг меньшей диагонали;
д) ромба из п. г), но при вращении вокруг прямой, параллельной меньшей диагонали и проходящей через вершину.
27.12. Вода в коническом сосуде была налита доверху,
а) На сколько понизился её уровень, когда отлили половину имеющейся воды?
б) Какая часть объёма осталась, когда уровень воды понизился в два раза?
27.13. Как найти объём усечённого конуса, у которого известны радиусы обоих оснований и:
а) образующая;
б) угол наклона образующей к плоскости основания?
27.14. Образующая конуса равна 1.
При каком угле ср при вершине его осевого сечения объём конуса будет наибольшим?
В каких границах лежит его объём, если высота конуса находится в промежутке:
а) (0; 0,5];
б) [0,5; 1)?
27.15. Радиус основания конуса равен 2, а высота равна 1. В конусе провели сечение плоскостью через вершину под углом 45° к высоте конуса. Найдите отношение объёмов частей конуса.
27.16. Площадь осевого сечения конуса равна 1.
а) Каким может быть объём конуса?
б) Как изменяется объём конуса, когда радиус его основания возрастает от 3 до 6?
Задачи на объём пирамиды
27.17. Как найти объём правильной треугольной (четырёхугольной) пирамиды, у которой известны:
а) сторона основания и высота;
б) сторона основания и боковое ребро;
в) сторона основания и двугранный угол при основании;
г) боковое ребро и его угол с основанием?
27.18. Как найти объём правильной треугольной (четырёхугольной) усечённой пирамиды, у которой известны стороны оснований и:
а) высота;
б) боковое ребро?
27.19. Вычислите объём треугольной пирамиды РАВС, у которой все рёбра основания ABC равны 2, ребро РА = 3 и при этом:
а) Р проектируется в точку Б;
б) Р проектируется в середину ребра 8С;
в) Р проектируется в центр основания ABC;
г) угол между РА и (ABC) равен 45°;
д) ∠PAC = ∠PAB = 60°;
е) РВ = РС= 2.
27.20. Вычислите наибольшее значение объёма тетраэдра, у которого:
а) пять рёбер равны 1;
б) четыре ребра равны 1.
27.21. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 1. В каких границах лежит её объём?
27.22. Как найти объём реального тетраэдра, делая замеры только на его поверхности?
27.23. Вычислите объём четырёхугольной пирамиды PABCD, основанием которой является квадрат со стороной 1, ребро РА равно 2 и при этом:
а) Р проектируется в точку Б;
б) Р проектируется в точку С;
в) РА составляет с основанием угол 30°;
г) |PD| = |PC| = 2;
д) грани PAD и РАВ перпендикулярны основанию.
27.24. В четырёхугольной пирамиде все боковые рёбра равны 1.
а) При каком угле φ между соседними боковыми рёбрами её объём наибольший, если её основание — квадрат?
б) В каких границах лежит её объём, если её основание — прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой стороны?
27.25. Какие измерения надо сделать на поверхности реальной четырёхугольной пирамиды, чтобы вычислить её объём?
27.26. Как вычислить объём правильной усечённой четырёхугольной (треугольной) пирамиды, если известны стороны двух оснований и:
а) угол наклона бокового ребра к большему основанию;
б) угол между боковой гранью и большим основанием?
27.27. Многогранник задан своими проекциями (рис. 247). Какие надо сделать измерения на этих проекциях, чтобы вычислить его объём?
Рис. 247
27.28. Как разделить параллелепипед на:
а) шесть равновеликих пирамид;
б) три равновеликие пирамиды.
27.29. В параллелепипед ABСDA1B1С1D1 вписан тетраэдр ACB1D1 Чему равно отношение их объёмов?
Задачи к п. 27.3
27.30. Дан шар объёма V. Можно ли его поместить в тело объёма 2V, если это:
а) куб;
б) правильная треугольная призма;
в) цилиндр?
27.31. Запишите формулу объёма шара,
а) Выразите его радиус как функцию от объёма,
б) Пусть радиус шара увеличили в два раза. Что произошло с объёмом?
в) Пусть объём уменьшился в три раза. Как изменился радиус шара?
27.32. Из тысячи металлических шариков радиуса 1 сделали один шар. Каков его радиус?
27.33. Что бы вы предпочли: съесть арбуз диаметром 30 см вчетвером или съесть арбуз диаметром 40 см ввосьмером?
27.34.
а) Какая часть объёма шара радиуса R содержится между двумя концентрическими сферами (сферами с одним центром) радиусами R и 0,9R?
б) Каким надо взять радиус меньшей сферы, чтобы между ними заключалась — объёма шара? — объёма шара?
27.35, Вычислите объём наибольшего шара, расположенного в:
а) кубе с ребром 1;
б) прямоугольном параллелепипеде с рёбрами 1, 2, 3;
в) правильном тетраэдре с ребром 1;
г) правильной треугольной призме, все рёбра которой равны 1;
д) правильной четырёхугольной пирамиде, все рёбра которой равны 1;
е) конусе, осевое сечение которого — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 1;
ж) цилиндре, осевое сечение которого — квадрат со стороной 1.
В этом равенстве нам неизвестна высота h. Выразим её через данные величины.
