Доказательство Пусть А — точка, не лежащая на прямой ВС (рис. 56, а). Докажем сначала, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС. Отложим от луча ВС угол МВС, равный углу АВС, как показано на рисунке 56, а. Так как углы АВС и МВС равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны В А и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла. Наглядно это наложение можно представить себе как перегибание рисунка по прямой ВС. При этом точка А наложится на некоторую точку А1 луча ВМ (рис. 56, б). Обозначим буквой Н точку пересечения прямых AA1 и ВС. Отрезок АН и есть искомый перпендикуляр к прямой ВС. В самом деле, при указанном наложении (перегибании рисунка) луч НА совмещается с лучом НА1 поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следовательно, ∠1 = ∠2. Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, АН ⊥ ВС.
Рис. 56 Докажем теперь, что из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Если предположить, что через точку А можно провести ещё один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, то получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются (рис. 57). Но в п. 12 было доказано, что это невозможно. Итак, из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Теорема доказана.
Рис. 57 Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертёжный угольник (рис. 58).
Рис. 58 Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаОтрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 59, а). Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 59,6 отрезки АМ1, ВМ2, СМ3 — медианы треугольника АВС.
Рис. 59 Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника (рис. 60, а). Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке 60, б отрезки СС1, DD1 и ЕЕ1 — биссектрисы треугольника CDE.
Рис. 60 Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника (рис. 61).
Рис. 61 Любой треугольник имеет три высоты. На рисунках 62, а, б, в отрезки АН1, ВН2, СН3 — высоты треугольника АВС.
Рис. 62 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами:
Свойства равнобедренного треугольникаТреугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а). Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (рис. 63, б).
Рис. 63 Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника. Теорема
Доказательство Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что ∠B = ∠C. Пусть AD — биссектриса треугольника АВС (рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠1 = ∠2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B = ∠C. Теорема доказана.
Рис. 64 Теорема
Доказательство Обратимся снова к рисунку 64, на котором ΔАВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, AD — его биссектриса. Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и ∠3 = ∠4. Равенство BD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана. Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:
Практические задания100. Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а. 101 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника. 102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы. 103. Начертите треугольник АВС с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника. 104. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым; в) тупым. Задачи105. Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны. а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB;
106. Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что AABD = AECD;
107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. 108. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС. 109. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см. 110. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный. 111. На рисунке 65 CD = BD, ∠1 =∠2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
Рис. 65 112. На рисунке 66 АВ = ВС, ∠1 = 130°. Найдите ∠2.
Рис. 66 113. Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM;
114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны. 115. Медиана AM треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов. 116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. 117. На рисунке 67 АВ = ВС, CD = DE. Докажите, что ∠BAC = ∠CED.
Рис. 67 118. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что: а) ΔВАМ = ΔСAN;
119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF — биссектриса, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD. 120. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что: a) ΔBDE = ΔBDF;
Ответы к задачам105. б) 46°. 106. б) 96°. 107. 10 см, 20 см и 20 см. 108. АВ = 12,5 см и ВС= 15 см. 109. 8 см. 112. 50°. 113. б) 37°30'. 115. ∠A = ∠B + ∠C. 119. KF= 8 см, ∠DEK = 86°, ∠EFD = 90°.
Содержание
|
