На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например
Рис. 242 На рисунке 243, а изображены векторы
Рис. 243 Для дальнейшего целесообразно условиться, что любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. На рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: Длиной или модулем ненулевого вектора Длины векторов, изображённых на рисунках 243, а и 243, 6, таковы:
Равенство векторовПрежде чем дать определение равных векторов, обратимся к примеру. Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении. Скорость каждой точки М тела является векторной величиной, поэтому её можно изобразить направленным отрезком, начало которого совпадает с точкой М (рис. 244). Так как все точки тела движутся с одной и той же скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости этих точек, имеют одно и то же направление и длины их равны.
Рис. 244 Этот пример подсказывает нам, как определить равенство векторов. Предварительно введём понятие коллинеарных векторов. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. На рисунке 245 векторы
Рис. 245 Если два ненулевых вектора Сонаправленность векторов
Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определённого направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Таким образом, на рисунке 245 Ненулевые коллинеарные векторы обладают свойствами, которые проиллюстрированы на рисунке 246, а — в.
Рис. 246 Дадим теперь определение равных векторов. Определение
Таким образом, векторы Откладывание вектора от данной точкиЕсли точка А — начало вектора от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору
Рис. 247 В самом деле, если
Рис. 248 Замечание Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Так обозначены, например, равные векторы скорости различных точек на рисунке 244. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек. Практические задания738. Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора. 739. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор 740. Начертите векторы а) б) 741. Начертите два неколлинеарных вектора 742. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколинеарные; б) имеющие равные длины и сонаправленные; в) имеющие равные длины и противоположно направленные. В каком случае полученные векторы равны? Ответ В случае б). 743. Начертите ненулевой вектор Задачи744. Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа? 745. В прямоугольнике ABCD АВ = 3 см, ВС = 4 см, М — середина стороны АВ. Найдите длины векторов 746. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, АВ = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины векторов 747. Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов. 748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) 749 Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: а)
750. Докажите, что если векторы 751. Определите вид четырёхугольника ABCD, если: 752. Верно ли утверждение: а) если Ответы к задачам744. Скорость, сила. 745. 746. 748. а) да; б) нет; в) да; г) нет. 749. а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да. 751. а) ромб; б) трапеция. 752. а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) да. 753. да. 1 Нетрудно дать и точное определение этих понятий. Например, два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными (противоположно направленными), если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, проходящей через начала. Как сформулировать аналогичное определение для ненулевых векторов, лежащих на одной прямой?
Содержание |