Рисунок 261 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3.
Рис. 261 Рисунок 262 иллюстрирует первый распределительный закон. Этот рисунок соответствует случаю, когда k = 3, l = 2.
Рис. 262 Рисунок 263 иллюстрирует второй распределительный закон. На этом рисунке треугольники ОАВ и ОА1В1 подобны с коэффициентом подобия k, поэтому
Рис. 263 Замечание Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение
Применение векторов к решению задачВекторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем. Приведём примеры. Рассмотрим сначала вспомогательную задачу. Задача 1 Точка С — середина отрезка АВ, а О — произвольная точка плоскости (рис. 264). Доказать, что
Рис. 264 Решение По правилу треугольника Задача 2 Доказать, что прямая, проведённая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон. Решение Пусть ABCD — данная трапеция, М и N — середины оснований ВС и AD, а О — точка пересечения прямых АВ и CD (рис. 265). Докажем, что точка О лежит на прямой MN.
Рис. 265 Треугольники OAD и ОВС подобны по первому признаку подобия треугольников (докажите это), поэтому
Так как
то
Точка М — середина отрезка ВС, поэтому
Аналогично
Подставив в это равенство выражения (1) для
получим:
Отсюда следует, что векторы Средняя линия трапецииСредней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажем теорему о средней линии трапеции. Теорема
Доказательство Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD (рис. 266). Докажем, что По правилу многоугольника
Но М и N — середины сторон АВ и CD, поэтому
Так как векторы Теорема доказана. Практические задания775. Начертите два неколлинеарных вектора 776. Начертите два неколлинеарных вектора
Выполните задания а) — е) для двух коллинеарных ненулевых векторов 777. Начертите два неколлинеарных вектора
778. Начертите попарно неколлинеарные векторы
Задачи779. Дан вектор 780Докажите, что для любого вектора справедливы равенства:
781. Пусть
782. В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы 783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причём ВМ : МС = 3 : 1. Выразите векторы 784. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — такая точка на стороне AD, что
785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что 786. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника АВС. Выразите векторы 787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор Применение векторов к решению задач788. Дан произвольный треугольник АВС. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС. Решение Пусть АА1, ВВ1, СС1 — медианы треугольника АВС. Тогда
(см. задачу 1, п. 87). Сложив эти равенства, получим
Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов
Рис. 267 789. На сторонах треугольника АВС построены параллелограммы АВВ1А2, ВСС1В2, АСС2А1. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А1А2, В1В2 и С1С2. 790. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований. 791. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам. 792. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64). Средняя линия трапеции793. Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции. 794. Сторона АВ треугольника АВС разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка. 795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.
796. Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС, и DDl к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DDU если ССг = 11 см, a CD = 27 см. 797. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей. 798. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции. 799. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. Ответы к задачам781. 782. 783. 784. 786. 787. 790. Указание. Воспользоваться задачей 785. 793. 10 см. 794. 6,8 см и 10,2 см. 795. 30 см. 796. 16см. 798. 60°, 60°, 120°, 120°. 799. 7см.
Содержание |
-->