Геометрия
7-9 классы

§ 3. Уравнения окружности и прямой

Уравнение линии на плоскости

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат, например график функции у-х. Известно, что графиком этой функции является прямая, проходящая через точки О (0; 0) и А(1;1) (рис. 284). Координаты любой точки М (х; у), лежащей на прямой О А, удовлетворяют уравнению у = х (так как ММ₁ = ММ₂), а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что уравнение у = х является уравнением прямой О А. Введём теперь понятие уравнения произвольной линии.

Рис. 284

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху и дана некоторая линия L (рис. 285). Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Рис. 285

При изучении линий методом координат возникают две задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение; 2) обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства. В следующем пункте мы рассмотрим первую из этих задач применительно к окружности. Вторая задача рассматривалась в курсе алгебры при построении графиков функций.

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности радиуса г с центром С в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка С имеет координаты (x₀; у₀) (рис. 286). Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной окружности, то МС = r, МС² = r², т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

(х - х₀)² + (у - у₀)² = r².                     (1)

Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС² ≠ r², и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С (х₀; у₀) имеет вид:

(х - х₁)² + (у - у₀)² = r².

В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

х² + у² = r².

Задача

Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Решение

Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в виде (х + 3)² + (у - 4)² = r², где r — пока неизвестный радиус окружности. Найдём его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т. е. координаты точки О (0; 0) удовлетворяют этому уравнению: (0 + 3)² + (0 - 4)² = r². Отсюда r² = 25, и, значит, r = 5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид (х + 3)² + (у - 4)² = 25.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение х² + у² + 6х - 8у = 0, которое также является уравнением данной окружности.

Уравнение прямой

Выведем уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат. Отметим две точки А (x₁; у₁) и В (х₂; у₂) так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку АВ (рис. 287, а). Если точка М (х; у) лежит на прямой l, то АМ = ВМ, или AM² = ВМ², т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

(x - х₁)² + (у - у₁)² = (х- х₂)² + (у - у₂)².           (2)



Рис. 287

Если же точка М (x; у) не лежит на прямой l, то AM² ≠ ВМ², и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой I в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение (2) принимает вид

ах + bу + с = 0,                 (3)

где а = 2 (х₁ - х₂), b = 2(у₁ - у₂), Так как А (x₁; у₁) и В (x₂; y₂) — различные точки, то хотя бы одна из разностей (х₁ - х₂) и (у₁ - у₂) не равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов а и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Если в уравнении (3) коэффициент b отличен от нуля, то это уравнение можно записать так:

y = kx + d,

где Число k называется угловым коэффициентом прямой, заданной этим уравнением. Докажите самостоятельно, что:

две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; вели две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

Выведем уравнение прямой l, проходящей через точку М₀ (x₀; у₀) и параллельной оси Оу (рис. 287, б). Абсцисса любой точки М (х; у) прямой l равна x₀, т. е. координаты любой точки М (x; у) прямой l удовлетворяют уравнению х = х₀. В то же время координаты любой точки, не лежащей на прямой l, этому уравнению не удовлетворяют. Следовательно, уравнение х = х₀ является уравнением прямой l.

Ясно, что ось Ох имеет уравнение у = О, а ось Оу — уравнение х = 0.

Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов r, R и расстояния d между их центрами. Для определённости будем считать, что r ≤ R.

Если центры окружностей совпадают, т. е. d = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса г лежит внутри круга радиуса R (рис. 288, а).

Пусть d > 0. Введём прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка О была центром первой окружности, а точка с координатами (d; 0) — центром второй окружности. В этой системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид

х² + у² = R²,     (х - d)² + у² = r².       (4)



Рис. 288

Если система уравнений (4) имеет решением пару чисел х = х₀, у = у₀, то точка М0 (х₀; у₀) является общей точкой данных окружностей (рис. 288, б), и обратно: если М₀ (x₀; у₀) — общая точка данных окружностей, то пара чисел х = х₀, у = у₀ является решением системы уравнений (4).

Пусть система (4) имеет решением пару чисел x = х₀, у = у₀, т. е. справедливы числовые равенства



Вычитая из первого равенства второе, подучаем равенство 2x₀d - d² = R² - r², откуда



Заметим, что х₀ > 0, поскольку R ≥ r и d > 0. Кроме того, как следует из первого равенства (5), х₀ = т. е. для величин R, r и d должно выполняться неравенство или R² + d² - r² ≤ 2dR. Последнее неравенство запишем в виде (d - R)² ≤ r². Отсюда следует, что -r ≤ d - R ≤ r, или

R - r ≤ R + r.               (7)

Отметим, что х₀ = R, если d = R - r или d = R + r, и x₀ < R, если R - r < d < R + r

Итак, если система уравнений (4) имеет решение, то величина d удовлетворяет неравенствам (7). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (7), то система (4) не имеет решений и, следовательно, данные окружности не имеют общих точек. Так будет в двух случаях:

1) d < R - r, т. е. d + r < R (рис. 288, в). В этом случае окружность радиуса r лежит внутри круга радиуса Д. Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой.

2) d > R + r (рис. 288, г). В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если неравенства (7) выполнены, то возможны три случая:

3) d = R - r, при этом R > r, поскольку d > 0. Как уже было отмечено, в этом случае x₀ = R, поэтому из первого из равенств (5) следует, что y₀ = 0. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку, и их взаимное расположение изображено на рисунке 288, д. Говорят, что окружности касаются изнутри.

4) d = R + r. В этом случае также х₀ = R, поэтому y₀ = 0, и непосредственно проверяется, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае, как и в случае 3, окружности имеют ровно одну общую точку, но их взаимное расположение иное (рис. 288, е). Говорят, что окружности касаются извне.

5) R - r < d < R+ r. Как уже было отмечено, в этом случае число х₀, определённое равенством (6), удовлетворяет неравенству x₀ < R, поэтому из первого равенства (5) получаем два значения у₀: у₀ = и у₀ = - Нетрудно убедиться в том, что система (4) имеет в данном случае два решения: х = х₀, у₀ = и х = х₀, у₀ = - Следовательно, окружности пересекаются в двух точках (см. рис. 288, б).

Таким образом, если d ≠ 0, то возможны пять случаев взаимного расположения двух окружностей (см. рис. 288, б—е).

Задачи

959. Начертите окружность, заданную уравнением:

а) х² + у² = 9; б) (х - 1)² + (у + 2)² = 4; в) (х + 5)² + (у - 3)² = 25; г) (х - 1)² + у² = 4; д) х² + (у + 2)² = 2.

960. Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением:

а) х² + у² = 25; б) (х - 1)² + (у + 3)² = 9; в) (х - 0,5)² - у² = 0,25;

961. Окружность задана уравнением (х + 5)² + (у - 1)² = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3), С (-7; -2) и D (1; 5) лежат:

а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;
6) на окружности;
в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

962. Даны окружность х² + у² = 25 и две точки А (3; 4) и В (4;-3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности.

963. На окружности, заданной уравнением х² + у² = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.

964. На окружности, заданной уравнением (x - 3)² + (у - 5)² = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.

965. Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r₁ = 3, r₂ = √2, r₂ = 5/2.

966. Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А (0; 5), r = 3; б) А (-1;2), r = 2; в) А (-3;-7), r = 1/2; г) А (4;-3), r =10.

967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).

968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

969. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3).

970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?

971. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5).

Решение

а) Уравнение прямой АВ имеет вид ах + by + с = 0. Так как точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

а • 1 + b • (-1) + с = 0, а • (-3) + b • 2 + с = 0,
или а - b + с = 0, -3а + 2b + с = 0.

Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: а = 3с, b = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим 3сх + 4су + с = 0. При любом с ≠ 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде 3х + 4у + 1 = 0.

973. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

974. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3;1), С (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции.

975. Найдите координаты точек пересечения прямой 3х - 4у + 12 = О с осями координат. Начертите эту прямую.

976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4х + 3у - 6 = О и 2х + у - 4 = 0.

977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.

978. Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у = -4; г) х = 7.

979. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.

980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

981. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 289,а. Тогда точки А и В имеют координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ.



Рис. 289

Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:



Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то

AM = 2ВМ, или AM² = 4ВМ².

Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

х² + у² = 4 ((х - а)² + у²).           (8)

Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду



Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2/3a с центром в точке C(4/3a; 0). Эта окружность изображена на рисунке 289, б.

Замечание

Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса с центром в точке

Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

982. Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM² + ВМ² + СМ² = 50; б) AM² + 2ВМ² + 3СМ² = 4.

983. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM² + ВМ² = k², где k — данное число.

984. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM² - ВМ² = k, где k — данное число.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то AM² - ВМ² = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению х² + у² - (х - а)² - у² = k, или 2ах - а² - k = 0.

Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Оу, если а² + k ≠ 0, и сама ось Оу, если a² + k = 0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

985. Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ² - AM² = 2АВ².

986. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

(AM² + DM²) - (ВМ² + СМ²) = 2АВ².

987.* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2Ь. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

AM² + DM² = ВМ² + СМ².

Ответы к § 3

960. а) А и С; б) В; в) В и D.

961. а) С; б) В; в) А и D.

963. а) (-4; -3), М;3);б) (4; 3), (-4; 3).

964. а) (3; 0), (3; 10); б) (-2; 5), (8; 5).

965. 1) х² + у² = 9; 2) х² + у² = 2; 3)

966. а) х² + (у-5)² = 9; б) (х + 1)² + (y - 2)² = 4; в) г) (х - 4)² + (y + 3)² = 100.

967. х² + у² = 10.

968. х² + (у - 6)² = 25.

969. а) (х - 2)² + (y - 1)² = 41; б) (х - 3)² + (у - 1)² = 5.

970. (х - 5)² + у² = 25, (х + 3)² + у² = 25; две окружности.

971. х² + (у - 4)² = 25.

972. б) х + у- 7 = 0; в) 3х - 2у + 2 = 0.

973. 7х - у + 3 = 0.

974. а) х - у = 0, у - 1 = 0; б) 3х - 5у + 5 = 0.

975. (-4; 0) и (0; 3).

976. (3;-2).

977. х = 2 и у = 5.

979. 7.

980. 5х + 2у - 10 = 0, 5х - 2у - 10 = 0, 5х + 2у + 10 = 0, 5х - 2у + 10 = 0 или 2х + 5у- 10 = 0, 2х - 5у -10 = 0, 2х + 5y + 10 = 0, 2х - 5у+ 10 = 0.

982. а) Окружность радиуса 4 с центром В; б) окружность радиуса 1/3 с центром D, лежащим на отрезке ВС, причём BD = 1/3

983. Окружность с центром в точке О радиуса , если k² > 2а², и точка О, если k² = 2а², где О — середина отрезка АВ и Если k² < 2а², то точек, удовлетворяющих условию задачи, не существует.

985. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ', где В' и В — точки, симметричные относительно точки А.

986. Прямая ВС. Указание. Выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В лежали на оси Ох и были симметричны относительно оси Оу.

987. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба.