Пусть и — два данных вектора. Отложим от произвольной точки О векторы и . Если векторы и не являются сона- правленными, то лучи О А и О В образуют угол АОВ (рис. 300). Градусную меру этого угла обозначим буквой α и будем говорить, что угол между векторами и равен α. Ясно, что α не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и (пользуясь рисунком 300, докажите это).
Если векторы и сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между векторами и равен 0°. Угол между векторами и обозначается так:
Рис. 300
На рисунке 301 углы между векторами равны соответственно:
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. На рисунке 301
Рис. 301
Скалярное произведение векторов
Мы знаем, как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается так: • или
По определению
Если векторы и перпендикулярны, т. е. то и поэтому • = 0. Обратно: если • = 0 и векторы и ненулевые, то из равенства (1) получаем и, следовательно, т. е. векторы и перпендикулярны.
Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Из формулы (1) также следует, что скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда
На рисунке 302 поэтому
Если то по формуле (1) получаем В частности,
Рис. 302
Скалярное произведение • называется скалярным квадратом вектора обозначается 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними:
Рис. 303
Правая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов и , т. е. работа А силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:
Скалярное произведение в координатах
Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.
Теорема
В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов α {x1; y1) и β {х2; у2} выражается формулой
Доказательство
Если хотя бы один из векторов и нулевой, то справедливость равенства (2) очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю. Рассмотрим случай, когда векторы и ненулевые. Отложим от произвольной точки О векторы Если векторы и не коллинеарны (рис. 304, а), то по теореме косинусов
АВ2 = ОА2 + ОВ2 - 2OА • ОВ • cos α. (3)
Это равенство верно и в том случае, когда векторы и коллинеарны (рис. 304, б, в).
Рис. 304
Так как то равенство (3) можно записать так:
Векторы , и - имеют координаты {x1; y1}, {х2; у2} и {х2 - х1; у2 - у1}, поэтому
Подставив эти выражения в правую часть равенства (4), после несложных преобразований получим формулу (2). Теорема доказана.
Следствие 1
Ненулевые векторы {x1; y1} и {х2; у2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2 + y1y2 = 0.
Следствие 2
Косинус угла α между ненулевыми векторами {х1; у1} и {х2; у2} выражается формулой
В самом деле, так как cos α, то
Подставив сюда выражения для • || и || через координаты векторов и получим формулу (5).
Свойства скалярного произведения векторов
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
Для любых векторов и любого числа k справедливы соотношения:
Утверждение 10 непосредственно следует из формулы а утверждение 20 — из определения скалярного произведения. Докажем Утверждения 30 и 40.
Введём прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов так:
Используя формулу (2), получаем
Утверждение 30 доказано.
Докажем теперь утверждение 40. Вектор имеет координаты {kx1; ky1}, поэтому
Замечание
Ясно, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например,
Задачи
1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами:
1040. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами:
1041. Вычислите скалярное произведение векторов и , если || = 2, || = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
1042. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:
1043. К одной и той же точке приложены две силы , действующие под углом 120° друг к другу, причём . Найдите величину равнодействующей силы .
1044. Вычислите скалярное произведение векторов и , если:
1045. Докажите, что ненулевые векторы {х; у} и {-у; х} перпендикулярны.
1046. Докажите, что векторы + и - перпендикулярны, если и — координатные векторы.
1047. При каком значении х векторы и перпендикулярны, а) {4; 5}, {x; -6}; б) {x; -1}, {3; 2}; в) {0; -3}, {5; x}?
1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), В (-1; 5), С (3; 1).
1049. Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В (1; -√3) и .
1050. Вычислите | + | и | - |, если || = 5, |,
1051. Известно, что , ||=1, . Вычислите .
1052. Вычислите скалярное произведение векторов и , если || = 5, || = 2, .
1053. Вычислите скалярное произведение векторов и и где — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
Применение скалярного произведения векторов к решению задач
1054. Докажите, что если AM — медиана треугольника АВС, то 4АМ2 = АВ2 + АС2 + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.
Решение
Точка М — середина отрезка ВС, поэтому . Отсюда получаем
или 4AM2 = АВ2 + АС2 + 2 АВ • АС • cos А. Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.
1055. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Решение
Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и AA1, ВВ1 — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения , . Тогда поэтому
По условию задачи АA1 ⊥ BB1 и, следовательно, . Далее, • = a2 cos С, • = а2, • = а2, поэтому равенство (6) принимает вид 0 = 5а2 cos С - 4а2. Отсюда получаем ∠C ≈ 36°52'.
1056. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.