Геометрия
7-9 классы

§ 3. Скалярное произведение векторов

Угол между векторами

Пусть и — два данных вектора. Отложим от произвольной точки О векторы и . Если векторы и не являются сона- правленными, то лучи О А и О В образуют угол АОВ (рис. 300). Градусную меру этого угла обозначим буквой α и будем говорить, что угол между векторами и равен α. Ясно, что α не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и (пользуясь рисунком 300, докажите это).

Если векторы и сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между векторами и равен 0°. Угол между векторами и обозначается так:

Рис. 300

На рисунке 301 углы между векторами равны соответственно:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. На рисунке 301

Рис. 301

Скалярное произведение векторов

Мы знаем, как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается так: • или

По определению

Если векторы и перпендикулярны, т. е. то и поэтому • = 0. Обратно: если • = 0 и векторы и ненулевые, то из равенства (1) получаем и, следовательно, т. е. векторы и перпендикулярны.

Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы (1) также следует, что скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда

На рисунке 302 поэтому

Если то по формуле (1) получаем В частности,

Рис. 302

Скалярное произведение • называется скалярным квадратом вектора обозначается ² Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними:

Рис. 303

Правая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов и , т. е. работа А силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:

Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

Теорема

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов α {x₁; y₁) и β {х₂; у₂} выражается формулой

Доказательство

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то справедливость равенства (2) очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю. Рассмотрим случай, когда векторы и ненулевые. Отложим от произвольной точки О векторы Если векторы и не коллинеарны (рис. 304, а), то по теореме косинусов

АВ² = ОА² + ОВ² - 2OА • ОВ • cos α. (3)

Это равенство верно и в том случае, когда векторы и коллинеарны (рис. 304, б, в).

Рис. 304

Так как то равенство (3) можно записать так:

Векторы , и - имеют координаты {x₁; y₁}, {х₂; у₂} и {х₂ - х₁; у₂ - у₁}, поэтому

Подставив эти выражения в правую часть равенства (4), после несложных преобразований получим формулу (2). Теорема доказана.

Следствие 1

Ненулевые векторы {x₁; y₁} и {х₂; у₂} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Следствие 2

Косинус угла α между ненулевыми векторами {х₁; у₁} и {х₂; у₂} выражается формулой

В самом деле, так как cos α, то

Подставив сюда выражения для • || и || через координаты векторов и получим формулу (5).

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

Для любых векторов и любого числа k справедливы соотношения:

Утверждение 1⁰ непосредственно следует из формулы а утверждение 2⁰ — из определения скалярного произведения. Докажем Утверждения 3⁰ и 4⁰.

Введём прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов так:

Используя формулу (2), получаем

Утверждение 3⁰ доказано.

Докажем теперь утверждение 4⁰. Вектор имеет координаты {kx₁; ky₁}, поэтому

Замечание

Ясно, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например,

Задачи

1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами:

1040. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами:

1041. Вычислите скалярное произведение векторов и , если || = 2, || = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

1042. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:

1043. К одной и той же точке приложены две силы , действующие под углом 120° друг к другу, причём . Найдите величину равнодействующей силы .

1044. Вычислите скалярное произведение векторов и , если:

1045. Докажите, что ненулевые векторы {х; у} и {-у; х} перпендикулярны.

1046. Докажите, что векторы + и - перпендикулярны, если и — координатные векторы.

1047. При каком значении х векторы и перпендикулярны, а) {4; 5}, {x; -6}; б) {x; -1}, {3; 2}; в) {0; -3}, {5; x}?

1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), В (-1; 5), С (3; 1).

1049. Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В (1; -√3) и .

1050. Вычислите | + | и | - |, если || = 5, |,

1051. Известно, что , ||=1, . Вычислите .

1052. Вычислите скалярное произведение векторов и , если || = 5, || = 2, .

1053. Вычислите скалярное произведение векторов и и где — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Применение скалярного произведения векторов к решению задач

1054. Докажите, что если AM — медиана треугольника АВС, то 4АМ² = АВ² + АС² + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Решение

Точка М — середина отрезка ВС, поэтому . Отсюда получаем

или 4AM² = АВ² + АС² + 2 АВ • АС • cos А. Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.

1055. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение

Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и AA₁, ВВ₁ — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения , . Тогда поэтому

По условию задачи АA₁ ⊥ BB₁ и, следовательно, . Далее, • = a2 cos С, • = а², • = а², поэтому равенство (6) принимает вид 0 = 5а² cos С - 4а². Отсюда получаем ∠C ≈ 36°52'.