Доказательство Пусть А1А2А3...Аn — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А1 и А2 (рис. 307).
Рис. 307 Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1 = ОА2 = ... = ОАn. Так как ∠A1 = ∠A2, то ∠1 = ∠3, поэтому треугольник А1А2O равнобедренный: в нём ОА1 = ОА2. Треугольники А1A2О и А2А3О равны по двум сторонам и углу между ними (A1A2 = А3А2, А2O — общая сторона и ∠3 = ∠4), следовательно, ОА3 = ОА1. Точно так же можно доказать, что ОА4 = ОА2, ОА5 = ОА3 и т. д. Итак, ОА1 = ОА2 = ... = ОАn, т. е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом OA1 является описанной около многоугольника. Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А1, А2, А3. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A1A2A3...An можно описать только одну окружность. Теорема доказана. Окружность, вписанная в правильный многоугольникНапомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Теорема
Доказательство Пусть А1А2...Аn — правильный многоугольник, О — центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ΔОА1А2 = ΔОА2А3 = ... = ΔОАnА1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: ОН1 = ОН2 =... = ОНn. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки H1, Н2, ..., Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.
Рис. 308 Докажем теперь, что вписанная окружность только одна. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН1 есть и другая окружность, вписанная в многоугольник А1А2...Аn. Тогда её центр О1 равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН1. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана. Следствие 1
Следствие 2
Эта точка называется центром правильного многоугольника. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружностиПусть S — площадь правильного n-угольника, аn — его сторона, Р — периметр, а r и R — радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что
Соединим центр данного многоугольника с его вершинами (см. рис. 308). Тогда многоугольник разобьётся на n равных треугольников, площадь каждого из которых будет равна
Выведем далее формулы:
Для вывода этих формул воспользуемся рисунком 308. В прямоугольном треугольнике А1Н1О
Следовательно,
Полагая в формуле (2) n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:
Построение правильных многоугольниковРассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Построения правильного треугольника и правильного четырёхугольника, т. е. квадрата, рассматривались ранее. Для построения правильных п-угольников при n > 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника. Задача 1 Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку. Решение Для решения задачи воспользуемся формулой (4). Пусть PQ — данный отрезок. Построим окружность радиуса PQ и отметим на ней произвольную точку А1 (рис. 309). Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6 так, чтобы выполнялись равенства А1А2 = А2А3 = А3А4 = А4А5 = А5А6. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А1А2А3А4А5А6.
Рис. 309 Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача: Задача 2 Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник. Решение Пусть A1A2...An — данный правильный n-угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса ОА1 (см. рис. 307). Для решения задачи достаточно разделить дуги А1А2, А2А3, ..., AnA1 пополам и каждую из точек деления В1, В2, .... Вn соединить отрезками с концами соответствующей дуги (рис. 310, на этом рисунке n = 6). Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам данного n-угольника. На рисунке 310 таким способом построен правильный двенадцатиугольник A1B2А2B2... A6B6.
Рис. 310 Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырёхугольник, т. е. квадрат, и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2k-угольник, где k — любое целое число, большее двух. Замечание Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник. Задачи1078. Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте. 1079. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте. 1080. Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом. 1081. Найдите углы правильного n-угольника, если: а) n = 3; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 10; д) n = 18. 1082 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу? 1083. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°? 1084. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°? 1085. Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают. 1086. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают. 1087. На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — его площадь, г — радиус вписанной окружности).
Рис. 311
1088. На рисунке 311,6 изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).
1089. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. 1090. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль? 1091. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска. 1092. Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см. 1093. Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 1094. Найдите площадь S правильного га-угольника, если: а) n = 4, R = 3√2 см; б) n = 3, Р = 24см; в) n = 6, r = 9см; г) n = 8, r = 5√3 см. 1095. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания. 1096. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников. 1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё. 1098. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности. 1099. Правильный восьмиугольник A1A2...A8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А3А4А7А8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R. 1100. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник. Ответы к задачам1078. а) Да; б) нет. 1079. б), в). 1081. а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°; д) 160°. 1082. 360°. 1083. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12. 1084. а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20; е) 5. 1085. Указание. Воспользоваться тем, что серединный перпендикуляр к любой стороне правильного многоугольника проходит через центр описанной окружности.
1086. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности. 1087.
1088.
1089. 2√6 см. 1090. 2√3 см. 1091. 6 см. 1092. 32√3 см. 1094. a) 36 см2; 6) 16√3 см2; в) 162√3 см2; r) ≈ 248,52 см2. 1095. 1096. S3 : S4 : S6 = √3 : 4 : 6√3. 1097. 3 : 4. 1098. a) 2√3r, 6√3r, 3√3r2; б) √3R, 3√3R, 1099. √2R2. 1100. в), г) Указание. Воспользоваться задачей 2, п. 113.
Содержание |
-->