При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением многочлена на множители.
Рассмотрим многочлен 6а2b + 15b2. Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3b:
Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель 3b, а другой — сумма 2а2 и 5b:
Итак
Мы разложили многочлен на множители, представив его в виде произведения одночлена 3b и многочлена 2а2 + 5b. Применённый способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки.
Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Разложим на множители многочлен
Решение: Члены этого многочлена имеют различные общие множители: х, у, 3xy, -5х2и др. Обычно в многочлене с целыми коэффициентами множитель, выносимый за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, оставшегося в скобках, не содержали общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих натуральных делителей, кроме 1.
В многочлене -15х2у3 - 30х2у2 + 45х4у модули коэффициентов — числа 15, 30 и 45. Их наибольший общий делитель равен 15. Поэтому в качестве коэффициента общего множителя можно взять число 15 или -15. Все члены многочлена содержат переменные х и у. Переменная х входит в них во второй, третьей и четвёртой степенях, поэтому за скобки можно вынести х2. Переменная у содержится в членах многочлена в третьей, второй и первой степенях, поэтому за скобки можно вынести у. Итак, за скобки целесообразно вынести одночлен 15х2у или -15х2у. Вынесем, например, за скобки -15х2у. Получим
Пример 2. Разложим на множители выражение
Решение: В этой сумме каждое слагаемое содержит множитель b - 2с. Вынесем этот множитель за скобки:
Пример 3. Представим в виде произведения сумму
Решение: Множители х - у и у - х отличаются друг от друга лишь знаком. Вынесем в выражении у - х за скобки -1, получим
Запись можно вести короче:
Заметим, что преобразование b(у - х) = -b(х - у) можно объяснить иначе: если изменить знак у второго множителя и перед произведением, то значение выражения не изменится.
Пример 4. Решим уравнение 2х2 + Зх = 0.
Решение: В выражении 2х2 + Зх вынесем за скобки множитель х. Получим
х(2х + 3) = 0.
Произведение х(2х + 3) равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, т. е. когда
х = 0 или 2х + 3 = 0.
Решая уравнение 2х + 3 = 0, находим 2х = -3, х = -1,5. Следовательно, произведение х(2х + 3) обращается в нуль при х = 0 и при х = -1,5, т. е. уравнение 2х2 + Зх = 0 имеет два корня: 0 и -1,5.
Запись можно вести короче:
Ответ: 0 и -1,5.
Пример 5. Докажем, что сумма 39 + З7 + 36 делится на 31.
Решение: Вынесем в выражении 39 + З7 + 36 за скобки З6:
Мы представили сумму 39 + З7 + 36 в виде произведения двух целых чисел, одно из которых равно 31. Значит, данная сумма делится на 31.
Упражнения
Разложите на множители и сделайте проверку:
Вынесите за скобки общий множитель:
Представьте в виде произведения:
Разложите на множители:
Вынесите за скобки общий множитель:
Представьте в виде произведения:
Найдите значение выражения:
Решите уравнение:
Найдите корни уравнения:
(Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения:
1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.
3) Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).
Разложите на множители:
(Для работы в парах.) Докажите, что:
1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.
Разложите на множители многочлен:
Представьте в виде произведения:
Вынесите за скобки общий множитель:
Разложите на множители многочлен:
Укажите общий множитель для всех слагаемых суммы и вынесите его за скобки:
Представьте выражение в виде произведения двух многочленов:
Разложите на множители:
Велосипедист проехал путь АВ со скоростью 12 км/ч. Возвращаясь из B в A, он развил скорость 18 км/ч и затратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько километров между А и В?
Решите уравнение:
Известно, что значение выражения а - b при некоторых значениях а и b равно 0,5. Чему равно при тех же а и b значение выражения:
Запишите в виде выражения:
а) произведение разности а и b и их суммы;
б) сумму квадратов а и b;
в) квадрат суммы а и b;
г) разность квадратов b и с;
д) куб разности b и с;
е) сумму кубов b и с.
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.
Преобразуйте в многочлен произведение
ab и а + 4b; ху и х2 + ху + у2.
Какое преобразование называют разложением многочлена на множители?
На примере многочлена 2ху - 6х2 объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.
