Учебник для 7 класса

Алгебра

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений

При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращённого умножения.

Возведём в квадрат сумму а + b. Для этого представим выражение (а + b)² в виде произведения (а + b)(а + b) и выполним умножение:

(а + b)² = (а + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² =
= а² + 2 ab + b².

Значит,

(а + b)² = а² + 2 аb + b². (1)

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат суммы любых двух выражений:

В «Началах» Евклида справедливость равенства

(а + b)² = а² + 2 ab + b²

при положительных значениях а и b доказана геометрически с помощью чертежа, приведённого на рисунке 70.

Рис. 70

Возведём в квадрат разность а - b, получим

(а - b)² = (а - b)(a - b) = а² - ab - ab + b² = -а² - 2 ab + b².

Значит,

(а - b)² = а² - 2ab + b². (2)

Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Она позволяет проще возводить в квадрат разность любых двух выражений:

Заметим, что тождество (2) можно получить из тождества (1), если представить разность а - b в виде суммы а + (-b):

(а - b)² = (а + (-b))² = а² + 2а(-b) + (-b)² = а² - 2аb + b².

Приведём примеры применения формул квадрата суммы и квадрата разности.

Пример 1. Возведём в квадрат сумму 8x + 3.

Решение: По формуле квадрата суммы получим

(8х + З)² = (8х)² + 2 • 8х • 3 + З² = 64x² + 48x + 9.

Пример 2. Возведём в квадрат разность 10х - у.

Решение:Воспользовавшись тождеством (2), получим

(10x - у)² = (10х)² - 2 • 10х • у + у² = 100х² - 20ху + у².

Пример 3. Представим в виде многочлена выражение (-5а - 4)².

Решение: Выражение (-5а - 4)² тождественно равно выражению (5а + 4)². Действительно, при любом а значениями выражений -5а - 4 и 5а + 4 являются противоположные числа, а квадраты противоположных чисел равны. Получаем

(-5а - 4)² = (5а + 4)² = 25а² + 40а + 16.

Пример 4. Упростим выражение 2х(3 + 8x) - (4х - 0,5)².

Решение:

2x(3 + 8x) - (4х - 0,5)² = 6х + 16х² - (16x² - 4х + 0,25) =
= 6x + 16х² - 16x² + 4х - 0,25 = 10х - 0,25.

Зная формулы квадрата суммы и квадрата разности, нетрудно вывести формулы куба суммы и куба разности. Имеем

(а + b)² = (а + b)²(а + b) = (а² + 2аb + b²)(а + b) =
= а³ + 2 a²b + ab² + а²b + 2аb² + b³ = а³ + 3 а²b + Заb² + b².

Следовательно,

(а + b)³ = а³ + 3 а²b + 3ab² + Ь³. (3)

Тождество (3) называют формулой куба суммы.

Аналогично можно получить, что

(а - b)³ = а³ - 3a²b + 3ab² - b³. (4)

Тождество (4) называют формулой куба разности.

Заметим, что тождество (4) можно получить из тождества (3), если разность а - b представить в виде суммы а + (-b).

Пример 5. Возведём в куб сумму 2х + 3.

Решение: Имеем

(2х + З)³ = (2х)³ + 3 (2x)² • 3 + 3 • 2х • З² + З³ =
= 8х³ + 36х² + 54х + 27.

Пример 6. Возведём в куб разность Зх - 5.

Решение: Имеем

(Зх - 5)² = (Зх)³ - 3 (Зх)² • 5 + 3 • Зх • 5² - 5³ =
= 27х³ - 135х² + 225х - 125.

Упражнения

799. Представьте в виде многочлена:

     

800. Преобразуйте в многочлен:

     

801. С помощью рисунка 71 разъясните геометрический смысл формулы (а - b)² = а² - 2аЬ + b² для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.

     

     Рис. 71

802. Проверьте, что равенство

     

     верно при n = 3. Покажите, что это равенство верно при любом n.

803. Преобразуйте выражение в многочлен:

     

804. Преобразуйте в многочлен:

     

805. Преобразуйте в многочлен:

     

806. Из выражений (у - х)², (у + х)², (-у + х)², (-х + у)², (-х - у)² выберитете, которые тождественно равны выражению:

     

807. Докажите тождество:

     

808. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена:

     

809. Преобразуйте в многочлен:

     

810. Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите:

     

811. Выполните возведение в квадрат:

     

812. Преобразуйте в многочлен:

     

813. Представьте в виде многочлена:

     

814. Замените знак * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

     

815. Упростите выражение:

     

816. Представьте в виде многочлена:

     

817. Упростите выражение:

     

818. Упростите выражение и найдите его значение:

     

819. Решите уравнение:

     

820. Найдите корень уравнения:

     

821. Представьте в виде многочлена выражение:

     

822. Преобразуйте в многочлен выражение:

     

823. Представьте в виде многочлена:

     

824. Докажите тождество:

     

825. Докажите тождество Диофанта (111 в.):

     

826. При каком значении х:

     а) квадрат двучлена х + 1 на 120 больше квадрата двучлена х - 3;
     б) квадрат двучлена 2х + 10 в 4 раза больше квадрата двучлена х - 5?

827. Пользуясь формулой куба суммы, преобразуйте в многочлен выражение:

     
828. Пользуясь формулой куба разности, преобразуйте в многочлен выражение:

     

829. Упростите выражение:

     

830. Запишите в виде выражения:

     а) разность квадратов 2m и 7n;
     б) квадрат разности х и 8у;
     в) утроенное произведение 6а и b²;
     г) произведение суммы а и b и их разности.

831. Разложите на множители многочлен а³ + 2а + а² + 2.
832. Из пунктов А и Б, расстояние между которыми 1020 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда, причём скорость одного была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч поезда, ещё не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорости поездов.