Учебник для 7 класса

Алгебра

35. Разложение разности квадратов на множители

В тождестве (а - b)(а + b) = а² - b² поменяем местами правую и левую части. Получим

а² - b² = (а- b)(а + b).

Это тождество называют формулой разности квадратов. Её применяют для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений:

Приведём примеры применения формулы разности квадратов.

Пример 1. Разложим на множители выражение 36 - а².

Решение: Так как 36 = 6², то

36 - а² = 6² - а² = (6 - а) (6 + а).

Пример 2. Представим в виде произведения двучлен 49х² - 16у⁶.

Решение: Данный двучлен можно представить в виде разности квадратов. Получим

49x² - 16у⁶ = (7x)² - (4у³)² = (7х - 4у³)(7х + 4у³).

Упражнения

883. Разложите на множители многочлен:

     

884. Разложите на множители:

     

885. Представьте в виде произведения:

     

886. Вычислите:

     

887. Найдите значение дроби:

     

888. Найдите значение выражения:

     

889. Разложите на множители:

     

890. Решите уравнение:

     

891. Решите уравнение:

     

892. Представьте в виде произведения:

     

893. Разложите на множители:

     

894. Представьте выражение в виде произведения:

     

895. Разложите на множители:

     

896. Представьте в виде произведения:

     

897. Представьте в виде произведения:

     

898. а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5)² - 9 делится на 4.
     б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)² - n² делится на 7. _
899. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 73).

     

     Рис. 73

     Площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.
900. (Задача исследование.) Верно ли, что если р — простое число, большее трёх, то значение выражения р² - 1 кратно 12.

     1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
     2) Разложите многочлен р² - 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
     3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
     4) Сделайте вывод.

901. Представьте в виде куба одночлена выражение:

     

902. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

     

903. Решите уравнение:

     

904. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?