Множитель а2 - ab + b2 в правой части формулы (1) напоминает трёхчлен а2 - 2ab + b2, который равен квадрату разности а и b. Однако вместо удвоенного произведения а и b в нём стоит просто их произведение. Трёхчлен a2 - ab + b2 называют неполным, квадратом, разности а и b. Итак,
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 27х3 + у3.
Решение: Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:
27х3 + у2 = (Зх)3 + у2.
Применив формулу (1), получим
(Зх)3 + у3 = (Зх + у)(9х2 - 3ху + у2).
Итак
27х3 + у3 = (Зх + у)(9х2 - Зхy + у2).
Для разложения на множители разности кубов используется тождество
а2 - b2 = (а - b)(а2 + аb + b2), (2)
которое называют (рормулой разности кубов.
Чтобы доказать тождество (2), преобразуем произведение двучлена а - b и трёхчлена а2 + аb + b2, который называют неполным квадратом суммы а и b: