Геометрия
7-9 классы

§ 1. Определение подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Вокруг нас немало предметов, которые имеют одинаковую D форму, но разные размеры. Самый простой пример — большой и маленький мячи. В геометрии фигуры одинаковой формы называются подобными. Данная глава посвящена изучению подобных треугольников и признаков их подобия. Эти признаки широко используются в геометрии, в частности с их помощью будет доказано утверждение, сформулированное ещё при изучении геометрии в 7 классе: медианы треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, будет рассказано об использовании свойств подобных треугольников при проведении измерительных работ на местности.

Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т. е. .

Говорят, что отрезки АВ и CD пропорциинальны отрезкам А₁В₁ и C₁D₁, если

Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А₁В₁ и C₁D₁, длины которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле,

Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например, три отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трём отрезкам А₁В₁ С₁D₁, и E₁F₁, если справедливо равенство

Определение подобных треугольников

В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга.

Введём понятие подобных треугольников.

Пусть у двух треугольников АВС и А₁В₁С₁ углы соответственно равны: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. В этом случае стороны АВ и А₁В₁, ВС и B₁C₁, СА и С₁А₁ называются сходственными (рис. 188).

Рис. 188

Определение

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения АВС и А₁В₁С₁ так, что

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Подобие треугольников АВС и А₁В₁С₁ обозначается так: ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁. На рисунке 188 изображены подобные треугольники.

Оказывается, что подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2). В следующем параграфе мы рассмотрим три признака подобия треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема

Доказательство

Пусть треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, причём коэффициент подобия равен к. Обозначим буквами S и S, площади этих треугольников. Так как ∠A = ∠A₁, то (по тереме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, п. 53). По формулам (2) имеем: , поэтому .

Теорема доказана.

Задачи

533. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

534. Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки: а) АС, CD и М₁М₂, ММ₁; б) АВ, ВС, CD и ММ₂, ММ₁, М₁М₂; в) АВ, BD и ММ₁, М₁М₂?

Рис. 189

535. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Решение

Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что (рис. 190). Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту АН, поэтому . С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу (∠1 = ∠2), поэтому . Из двух равенств для отношения площадеи получаем , или , что и требовалось доказать.

Рис. 190

536. Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС.

а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, АО = 7,5 см, ОС = 4,5 см.
б) Найдите ОС, если АВ = 30, АО = 20, ВС = 16.

537. Отрезок АО является биссектрисой треугольника АВС. Найдите ВО и ОС, если АВ = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см.

538. Биссектриса АО треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки СО и ВО, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 42 см.

539. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МК. Найдите отрезки NE и ЕК, если MN = 7 см, NK = 6 см, МК = 5 см.

540. Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах СО, СЕ и DE. Найдите стороны СО и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

541. Подобны ли треугольники АВС и DEF, если ∠A = 106°, ∠B = 34°, ∠B =106°, ∠B = 40°, АС = 4,4 см, АВ = 5,2 см, ВС = = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?

542. В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и КМ, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, = 2,1

543. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

544. Площади двух подобных треугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

545. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, и их сходственные стороны относятся как 6: 5. Площадь треугольника АВС больше площади треугольника А₁В₁С₁ на 77 см². Найдите площади треугольников.

546. План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображённого на плане треугольника равна 87,5 см². Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1 : 100 000.

547. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

548. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны. Сходственные стороны ВС и В₁С₁ соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников АВС и А₁В₁С₁.

549. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 см.

Ответы к задачам

533. 3/4; нет.

534. а) Да; б) да; в) нет.

536. а) 15 см; б) .

537. BD = 8 см, DC = 12 см.

538. АВ = 18 см, АС = 6 см.

539. NE = 3,5 см, ЕК = 2,5 см.

540. СD =14 см, DE = 21см.

541. Да.

542. 8,4 см, 10,5 см, 14,7 см.

544. 4,5 м.

545. 175 см² и 252 см².

546. 87,5 км².

548. 2,5.

549. 6 см, 8 см, 12см.