Геометрия
7-9 классы

§ 2. Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Теорема

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ — два треугольника, у которых ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ (рис. 191). Докажем, что ΔАВС ∼ ΔА₁В₁С₁

Рис. 191

По теореме о сумме углов треугольника ∠C = 180° - ∠A - ∠B, ∠C₁ = 180° - ∠A₁ - ∠B₁, и, значит, ∠C = ∠C₁. Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А₁В₁С₁.

Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А₁В₁С₁. Так как ∠A = ∠A₁ и ∠C = ∠C₁, то и (см. п. 53).

Из этих равенств следует, что . Аналогично, используя равенства ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, получаем .

Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А₁В₁С₁.

Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников

Теорема

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника АВС и А₁В₁С₁, у которых ∠A = ∠A₁ (рис. 192, а). Докажем, что ΔАВС ∼ ΔА₁В₁С₁. Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что ∠B = ∠B₁.

Рис. 192

Рассмотрим треугольник АВС₂, у которого ∠1 = ∠A₁, ∠2 = ∠B₁ (рис. 192, б). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому С другой стороны, по условию . Из этих двух равенств получаем АС = АС₂.

Треугольники АВС и АВС₂ равны по двум сторонам и углу между ними (АВ — общая сторона, АС = АС₂ и ∠A = ∠1, поскольку ∠A = ∠A₁ и ∠1 = ∠A₁). Отсюда следует, что ∠B = ∠2, а так как ∠2 = ∠B₁, то ∠B = ∠B₁.

Теорема доказана.

Третий признак подобия треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны:

Докажем, что ΔАВС ∼ ΔА₁В₁С₁. Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что ∠A = ∠A₁. Рассмотрим треугольник АВС₂, у которого ∠1 = ∠A₁, ∠2 = ∠B₁ (см. рис. 192,6). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Сравнивая эти равенства с равенствами (1), получаем: ВС = ВС₂, СА = С₂А. Треугольники АВС и АВС₂ равны по трём сторонам. Отсюда следует, что ∠A = ∠1, а так как ∠1 = ∠A₁, то ∠A = ∠A₁.

Теорема доказана.

Задачи

550. По данным рисунка 193 найдите х и у.

Рис. 193

551. На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите: a) EF и FC, если DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС= 7 см, А? = 10см; б) DE и ЕС, если АВ = 8 см, AD- 5 см, CF = 2 см.

552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ = 4 см, ОЕ=10см, DС = 25 см; б) , если АВ = а, DC = b; в) АО, если АВ = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см.

553. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.

554. Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания.

555. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и С А треугольника АВС, причём MN || АС, NP || АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) АВ = 10 см, АС = 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) АМ = АР, АВ = а, АС = b.

556. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD. Докажите, что отрезки О А и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD (рис. 194).

Рис. 194

Решение

Проведём через точку А прямую АС,, параллельную прямой BD (С, — точка пересечения этой прямой с прямой CD). Тогда ΔОАВ ∼ ΔАСС₁ по первому признаку подобия треугольников (∠O = ∠CAC₁, ∠OAB = ∠C), следовательно, . Так как АС₁ = BD (объясните почему), то , что и требовалось доказать.

557. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и Е — на другой. Найдите: а) АС, если СЕ = 10 см, АD = 22 см, BD = 8 см; б) BD и DE, если АВ = 10 см, АС = 8 см, BС = 4 см, СЕ = 4 см; в) ВС, если АВ : BD = 2 : 1 и DE = 12 см.

558. Прямые а и b пересечены параллельными прямыми АА₁, ВВ₁, СС₁, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки А₁, В₁ и С₁ — на прямой b. Докажите, что

559. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см и АС= 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки АD = 8 см и АF =10см. Подобны ли треугольники АСD и AFB? Ответ обоснуйте.

560. Подобны ли треугольники АВС и А₁В₁С₁, если: а) АВ = 3см, ВС = 5 см, СА = 7 см, А₁В₁ = 4,5 см, В₁С₁ = 7,5 см, С₁А₁ = 10,5 см; б) АВ = 1,7 см, ВС = 3 см, СА = 4,2 см, А₁В₁ = 34 дм, В₁С₁ = 60 дм, С₁А₁ = 84 дм?

561. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

562. В треугольнике АВС сторона АВ равна а, а высота СН равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне АВ, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС.

563. Через точку М, взятую на медиане AD треугольника АВС, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение если: а) М — середина отрезка AD; б) .