Доказательство Пусть р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания (см. рис. 212). Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.
Рис. 212 Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р — касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана. Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 213). Отрезки АВ и АС назовём отрезками касательных, проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством:
Рис. 213
Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 213. По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и ∠3 = ∠4, что и требовалось доказать. Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной). Теорема
Доказательство Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана. На этой теореме основано решение задач на построение касательной. Решим одну из таких задач. Задача Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности. Решение Проведём прямую О А, а затем построим прямую р, проходящую через точку А перпендикулярно к прямой О А. По признаку касательной прямая р является искомой касательной. Задачи631. Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) r = 16 см, d = 12 см; б) r = 5 см, d = 4,2 см; в) r = 7,2 дм, (2 = 3,7 дм; г) r = 8 см, d= 1,2 дм; д) r = 5 см, d = 50 мм? 632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности. 633. Даны квадрат О АВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности? 634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ. 635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. 636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АС В. 637. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный. 638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ОА = 2 см, а r = 1,5 см. 639. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см. 640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см. 641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности. 642. На рисунке 213 ОВ = 3см, СМ. = 6 см. Найдите АВ, АС, ∠3 и ∠4. 643. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, АВ = 5 см. 644. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.
645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и BB1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A1B1. 646. В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АВ; б) прямая АВ является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами В А и ВС. 647. Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) СМ. = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, CM = 4 см; в) ∠HAO = 30°, О А = 6 см? 648. Постройте касательную к окружности с центром О: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой. Ответы к задачам633. ОА и АС. 635. 30°. 636. 120°. 637. Указание. Сначала доказать, что ∠ADC = 30°. 638. 639. 12√3 см. 640. 60°. 641. 60°. 642. 3√3 см; 2√3 см; 30°, 30°. 643. 5 см. 647. а) Да; б) нет; в) да. 648. а) Указание. Сначала построить прямую, проходящую через центр окружности и перпендикулярную к данной прямой.
Содержание |