Геометрия
7-9 классы

§ 1. Касательная к окружности

Взаимное расположение прямой и окружности

В этой главе мы вернёмся к одной из основных геометрических фигур — к окружности. Будут доказаны различные теоремы, связанные с окружностями, в том числе теоремы об окружностях, вписанных в треугольник, четырёхугольник, и окружностях, описанных около этих фигур. Кроме того, будут доказаны три утверждения о замечательных точках треугольника — точке пересечения биссектрис треугольника, точке пересечения его высот и точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Первые два утверждения были сформулированы ещё в 7 классе, и вот теперь мы сможем провести их доказательства.

Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на этой прямой.

Пусть прямая р не проходит через центр О окружности радиуса г. Проведём перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 211).

Рис. 211

Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.

1) d < r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Следовательно, точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой р и данной окружности.

Докажем, что прямая р и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют ещё одну общую точку С. Тогда медиана OD равнобедренного треугольника О АС, проведённая к основанию АС, является высотой этого треугольника, поэтому OD ⊥ р. Отрезки OD и ОН не совпадают, так как середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н — серединой отрезка АВ. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра (отрезки ОН и OD) к прямой р, что невозможно.

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

2) d = r. В этом случае ОН = r, т. е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности (рис. 211,6). Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р, отличной от точки Н, ОМ > ОН = r (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

3) d > r. В этом случае ОН > г, поэтому для любой точки М прямой р ОМ ≥ ОН > r (рис. 211, в). Следовательно, точка М не лежит на окружности.

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Касательная к окружности

Мы доказали, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 212 прямая р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания.

Докажем теорему о свойстве касательной к окружности.

Теорема

Доказательство

Пусть р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания (см. рис. 212). Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.

Рис. 212

Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р — касательная.

Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 213). Отрезки АВ и АС назовём отрезками касательных, проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством:

Рис. 213

Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 213. По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и ∠3 = ∠4, что и требовалось доказать.

Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной).

Теорема

Доказательство

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.

На этой теореме основано решение задач на построение касательной. Решим одну из таких задач.

Задача

Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.

Решение

Проведём прямую О А, а затем построим прямую р, проходящую через точку А перпендикулярно к прямой О А. По признаку касательной прямая р является искомой касательной.

Задачи

631. Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) r = 16 см, d = 12 см; б) r = 5 см, d = 4,2 см; в) r = 7,2 дм, (2 = 3,7 дм; г) r = 8 см, d= 1,2 дм; д) r = 5 см, d = 50 мм?

632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.

633. Даны квадрат О АВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ.

635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АС В.

637. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ОА = 2 см, а r = 1,5 см.

639. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см.

640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см.

641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

642. На рисунке 213 ОВ = 3см, СМ. = 6 см. Найдите АВ, АС, ∠3 и ∠4.

643. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, АВ = 5 см.

644. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.

645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА₁ и BB₁ к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A₁B₁.

646. В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АВ; б) прямая АВ является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами В А и ВС.

647. Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) СМ. = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, CM = 4 см; в) ∠HAO = 30°, О А = 6 см?

648. Постройте касательную к окружности с центром О: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой.

Ответы к задачам

633. ОА и АС.

635. 30°.

636. 120°.

637. Указание. Сначала доказать, что ∠ADC = 30°.

638. см.

639. 12√3 см.

640. 60°.

641. 60°.

642. 3√3 см; 2√3 см; 30°, 30°.

643. 5 см.

647. а) Да; б) нет; в) да.

648. а) Указание. Сначала построить прямую, проходящую через центр окружности и перпендикулярную к данной прямой.