Доказательство Пусть ∠ABC — вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС (рис. 218). Докажем, что 1) Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС (рис. 218, а). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому ∠AOC = ∠AOC = ∠1 + ∠2 = 2∠1.
Рис. 218 Отсюда следует, что 2∠1 = 2) Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 218, б). Точка D разделяет дугу АС на две дуги:
Складывая эти равенства, получаем:
3) Луч ВО не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла. Для этого случая, пользуясь рисунком 218, в, проведите доказательство самостоятельно. Следствие 1
Рис. 219 Следствие 2
Рис. 220 Используя следствие 1, докажем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд. Теорема
Доказательство Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке Е (рис. 221). Докажем, что АЕ • ВЕ = СЕ • DE.
Рис. 221 Рассмотрим треугольники ADE и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников ΔADE ∼ ΔCBE. Отсюда следует, что Задачи649. Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: a) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 120°; г) ∠AOB = 180°. 650. Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: a) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB =180°. 651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D.
652. На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что 653. Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°. 654. По данным рисунка 222 найдите х.
Рис. 222 655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов. 656. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС. 657. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ. 658. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если 659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны. 660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу. 661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 140° и 52°. 662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если 663. Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB. 664. Прямая AM — касательная к окружности, АВ — хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ. 665. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то ∠C > ∠A и ∠C > ∠B. 666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = 16, ВЕ = 9, CE = ED;
667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает её в точке С. Найдите ВВ1 если АС = 4 см, СА1 = 8 см. 668. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр. 669. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков. 670. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ2 = АР • AQ. 671. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = 5 см, AD = 10 см. 672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В1 и С1, а другая — в точках В2 и С2. Докажите, что АВ1 • АС1 = АВ2 • АС2. 673. К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности. Решение Пусть даны окружность с центром О и точка А вне этой окружности. Допустим, что задача решена и АВ — искомая касательная (рис. 223). Так как прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОВ, то решение задачи сводится к построению точки В окружности, для которой ∠ABO прямой. Эту точку можно построить следующим образом: проводим отрезок ОА и строим его середину О1. Затем проводим окружность с центром в точке Ох радиуса О1А. Эта окружность пересекает данную окружность в двух точках: В1В1. Прямые АВ и АВ1 — искомые касательные, так как АВ ⊥ ОВ и АВ1 ⊥ ОВ1. Действительно, углы АВО и АВ1O, вписанные в окружность с центром О1, опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Очевидно, задача имеет два решения.
Рис. 223 Ответы к задачам650. а) 16; б) 16√2; в) 32. 651. 112° и 248°. 652. 15√3 см. 654. а) 64°; б) 175°; в) 34°; г) 105°. 655. 60° и 30° или 140° и 110°. 656. 101° или 36°. 657. 50°. 658. 20°20', 34°50'. 660. 36°. 661. 44°. 662. 62°. 664. Указание. Воспользоваться задачей 663. 666. а) 4; б) 12; в) 0,25. 667. 8√2 см. 670. Указание. Сначала доказать, что ΔABP ∼ ΔAQB 671. а) 6 см; б) 7,5 см. 672. Указание. Воспользоваться задачей 670.
Содержание
|
ALB и 
Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.
или АЕ • BE = СЕ • DE. Теорема доказана.
